Kúpszerű vetület

A kúpszerű vetület egy alapvető térképvetületi technika, amelynek során a Föld gömb vagy ellipszoid alakú felszínét matematikailag egy kúpra vetítik, majd ezt a kúpot síkra bontják ki. Az így kapott térképhálózatban a szélességi körök koncentrikus ívekként, a hosszúsági körök pedig egy központi pontból sugárirányban induló egyenesekként jelennek meg, elegáns megoldást kínálva a kelet–nyugati irányban szélesebb, közepes szélességi régiók ábrázolására.

Történeti fejlődés

A kúpszerű vetületek geometriai alapjait már az ókori görög matematikusok lefektették, de a gyakorlati, explicit formák a reneszánsz és a felvilágosodás korában jelentek meg. A 18–19. században olyan jelentős térképészek, mint Johann Heinrich Lambert (Lambert-féle konform kúpos vetület, 1772) és Heinrich Christian Albers (Albers-féle területtartó kúpos vetület, 1805) dolgozták ki a legelterjedtebb kúpszerű vetületeket. Ma az USGS, az ICAO és más szervezetek szabványai is ezekre a vetületekre épülnek országos és regionális térképezéshez.

Geometriai szerkesztés

A kúpszerű vetület elkészítésekor egy kúpot képzelünk el a Föld gömbje fölött, így hogy az:

• Érinti a Földet egy adott szélességen (egy normál párhuzamos), vagy
• Metszi a Földet két szélességen (két normál párhuzamos).

A Föld felszínének kúpfelületre vetítése után a kúpot a középső hosszúsági kör mentén „felvágják” és síkra bontják. Az eredmény:

• Párhuzamosok: koncentrikus körívek,
• Meridiánok: sugárirányú egyenesek a kúpcsúcsból (általában a térképen kívül).

A középső hosszúsági kör és az eredet szélessége további paraméterként meghatározza a térkép középpontját és koordinátarendszerét.

A matematikai transzformáció a földrajzi koordináták (szélesség φ, hosszúság λ) és a síkbeli koordináták (x, y) között vetülettípusonként és paraméterenként eltérő (lásd Snyder: “Map Projections—A Working Manual”).

Torzulási mintázatok

Minden térképvetület torzulással jár. A kúpszerű vetületeknél:

• A normál párhuzamosok mentén a lépték pontos, a torzulás minimális.
• A torzulás nő az északi és déli irányban ezekről a párhuzamosokról távolodva.
• A metsző kúpos vetületek (két normál párhuzamos) egyenletesebben osztják el a torzulást, mint az érintő vetületek (egy normál párhuzamos).

A Tissot-féle indikátrix jól szemlélteti a torzulásokat: az Albers-féle területtartó vetületnél a körök területükben maradnak meg, de alakjuk torzul; a Lambert-féle konformnál a helyi alak pontos, de a terület nem.

Főbb kúpszerű vetülettípusok

Albers-féle területtartó kúpos vetület

A területet tartja meg, ezért ideális tematikus és statisztikai térképekhez, ahol a területek pontos aránya a fontos.

• Torzulás: Az alak és a szögek a normál párhuzamosoktól távolodva torzulnak.
• Felhasználás: USGS tematikus térképek, népszámlálás, földhasználat, környezeti vizsgálatok.

Lambert-féle konform kúpos vetület

A helyi alakot és szögeket tartja meg, ezért elengedhetetlen a navigációs és meteorológiai térképekhez.

• Torzulás: A terület és a távolságok csak a normál párhuzamosok mentén pontosak.
• Felhasználás: State Plane Coordinate System (SPCS), repülési térképek, topográfiai térképek.

Polyconic vetület

Minden párhuzamos úgy vetül, mintha normál párhuzamos lenne, így minden párhuzamos és a középső meridián valós léptékű ívként, illetve egyenesként jelenik meg.

• Torzulás: Sem konform, sem területtartó; a torzulás a térkép közepétől távolodva nő.
• Felhasználás: Történeti USGS topográfiai térképek.

Összehasonlítás más vetületi osztályokkal

• Cilindrikus vetületekkel szemben: A kúpszerű vetületek a legkisebb torzulást közepes szélességeken nyújtják. A cilindrikus vetületek (pl. Mercator) az egyenlítői régiókhoz jobbak, de a magasabb szélességeken nagy torzulásokat okoznak.
• Azimutális vetületekkel szemben: Azimutális vetületek a pólusok vagy egy adott pont körüli ábrázolásra alkalmasak; a kúpszerű vetületek a széles, kelet–nyugati kiterjedésű közepes szélességi régióknál előnyösek.
• Érintő vs. metsző: A metsző vetületek (két normál párhuzamos) előnyösebbek nagyobb területeknél, mert a torzulást egyenletesebben osztják el.

Matematikai leírás

A transzformációs egyenletek a vetülettípustól és paraméterektől függnek:

• Lambert-féle konform kúpos vetület: A szögeket tartja meg; trigonometrikus és logaritmikus függvényeket használ.
• Albers-féle területtartó kúpos vetület: Területtartó; az ívek sugarát és elhelyezkedését módosítja a területi arányok megőrzéséhez.
• Polyconic: Minden párhuzamost külön vetít, összetett, de helyileg pontos alakokat eredményez.

A részletes képletekhez lásd: Snyder: “Map Projections—A Working Manual” (USGS Professional Paper 1395).

Alkalmazási területek

Kormányzati és országos térképezés

• USGS: Tematikus térképekhez Albers-féle területtartó, topográfiai és alaptérképekhez Lambert-féle konform kúpos vetületet használ.
• State Plane Coordinate System: Sok állam a Lambert-féle konform kúpos vetületet alkalmazza földméréshez és mérnöki pontosságú térképezéshez.

Repülési és meteorológiai térképek

• A Lambert-féle konform kúpos vetület a szabvány a repülési navigációhoz és időjárási térképezéshez, mivel megőrzi a helyi alakokat és szögeket.

Tematikus és statisztikai térképezés

• Az Albers-féle területtartó kúpos vetület az elsődleges választás népességi, éghajlati és erőforrás-térképekhez, ahol a pontos területmérés kulcsfontosságú.

A kúpszerű vetület kiválasztása

A megfelelő kúpszerű vetület kiválasztásakor vegye figyelembe:

1. Földrajzi kiterjedés és irányultság: A kelet–nyugati irányban széles, közepes szélességi régiókhoz a legalkalmasabb.
2. Cél: Területtartó vetülethez válassza az Albers-t, alak- és iránytartóhoz a Lambert-et.
3. Paraméterek megadása: A normál párhuzamosokat úgy válassza meg, hogy azok közrefogják a vizsgált területet a minimális torzulás érdekében.

Források

• Snyder, J.P. (1987). Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395.
• NGA (2020). Department of Defense World Geodetic System 1984—Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems.
• ICAO Doc 9674, Manual on Air Navigation Services.

Összefoglaló táblázat

A kúpszerű vetületek a mai napig sokoldalú eszközei a térképezésnek, egyensúlyt teremtve a térképész örök kihívásában: a gömb alakú világ síkra vetítésében.

További tanácsért a kúpszerű vetületek kiválasztásához vagy alkalmazásához lépjen kapcsolatba szakértőinkkel vagy foglaljon időpontot bemutatóra .