Vecteur — Grandeur avec Magnitude et Direction

Un vecteur est une entité mathématique qui possède à la fois une magnitude (taille) et une direction. En science et en ingénierie, les vecteurs sont indispensables pour décrire les grandeurs physiques où l’orientation compte, comme la force, la vitesse et le déplacement. Contrairement aux scalaires — qui sont entièrement décrits par une seule valeur (par exemple, la masse, la température) — les vecteurs nécessitent à la fois une valeur et une direction.

Concepts clés

• Vecteur : Grandeur avec magnitude et direction, généralement représentée algébriquement sous forme de paires ordonnées (2D), de triples (3D) ou de n-uplets (nD), et graphiquement sous forme de flèches.
• Scalaire : Grandeur ayant seulement une magnitude, sans direction (ex. : température, masse).
• Magnitude : Longueur ou taille du vecteur.
• Direction : Orientation du vecteur, souvent décrite par un angle par rapport à un axe de référence.
• Composantes : Projections d’un vecteur selon les axes de coordonnées ; en 2D : x et y, en 3D : x, y, z.
• Vecteur unitaire : Vecteur de magnitude 1, indiquant uniquement la direction.
• Vecteur résultant : Somme ou effet combiné de deux vecteurs ou plus.
• Déplacement : Vecteur décrivant la distance en ligne droite et la direction entre une position initiale et une position finale.

À quoi servent les vecteurs ?

Les vecteurs sont des outils essentiels dans de nombreux domaines :

• Physique : Pour décrire les forces, vitesses, accélérations, moments et champs.
• Ingénierie : Pour l’analyse des structures, le calcul des contraintes et la commande des robots.
• Navigation & aviation : Pour tracer des routes, corriger le vent et s’orienter.
• Sciences de la Terre : Pour représenter le mouvement des plaques tectoniques, le glissement sismique et les directions d’écoulement.
• Infographie : Pour l’animation, l’éclairage et les transformations spatiales.

Exemple concret : Mouvement des plaques tectoniques

Sur les cartes tectoniques, des flèches (vecteurs) indiquent le mouvement des plaques. La longueur de chaque flèche reflète la vitesse (ex. : mm/an) et son orientation montre la direction. Les scientifiques utilisent ces vecteurs pour analyser les frontières de plaques, l’accumulation de contrainte et le risque sismique.

Vecteur vs. Scalaire : Référence rapide

Comment représenter les vecteurs ?

1. Forme géométrique (flèche)

Les vecteurs sont couramment dessinés comme des flèches. La base marque le point de départ ; la pointe indique la direction souhaitée. La longueur de la flèche est proportionnelle à la magnitude.

2. Forme composantes (cartésienne)

Les vecteurs peuvent s’écrire comme des paires ou triples ordonnés :

• En 2D : v = ⟨x, y⟩
• En 3D : v = ⟨x, y, z⟩

Si un vecteur part de (x₀, y₀) et arrive à (x₁, y₁) :

v = ⟨x₁ − x₀, y₁ − y₀⟩

3. Notation en vecteurs unitaires

• 2D : v = a·i + b·j
• 3D : v = a·i + b·j + c·k

Où i, j et k sont les vecteurs unitaires selon les axes x, y et z, respectivement.

Magnitude et direction d’un vecteur

Étant donné v = ⟨x, y⟩ :

• Magnitude :
  |v| = √(x² + y²)
• Direction (angle θ) :
  θ = arctan(y / x) (utiliser atan2(y, x) pour le bon quadrant)

En 3D, |v| = √(x² + y² + z²).

Exemple détaillé

De P(1, 1) à Q(5, 3) :

• Composantes : ⟨5−1, 3−1⟩ = ⟨4, 2⟩
• Magnitude : √(4² + 2²) = √20 ≈ 4,47
• Direction : θ = arctan(2/4) ≈ 26,57°

Décomposition d’un vecteur en composantes

Un vecteur de magnitude v et d’angle θ :

• Composante x : vₓ = v·cos(θ)
• Composante y : v_y = v·sin(θ)

Exemple :
Le vent souffle à 50 nœuds, 30° à l’est du nord :

• Composante est : 50·sin(30°) = 25 nœuds
• Composante nord : 50·cos(30°) ≈ 43,3 nœuds

Opérations sur les vecteurs

Addition

Si a = ⟨aₓ, a_y⟩, b = ⟨bₓ, b_y⟩ :

a + b = ⟨aₓ + bₓ, a_y + b_y⟩

Graphiquement : Placez la base du second vecteur à la pointe du premier (méthode bout-à-queue).

Multiplication par un scalaire

Multiplication par k :

k·v = ⟨k·vₓ, k·v_y⟩

Si k < 0, le vecteur change de direction.

Cas d’usage concrets

• Mouvement des plaques tectoniques : Les vecteurs montrent la vitesse et la direction du déplacement des plaques.
• Forces de glissement de terrain : Le vecteur gravité est décomposé en composantes parallèles et normales à la pente.
• Navigation & GPS : Les vecteurs de déplacement déterminent le chemin le plus court et la direction à suivre.
• Physique & ingénierie : Les vecteurs sous-tendent les lois de Newton, le mouvement des projectiles et le couple.
• Aviation : Les pilotes utilisent les vecteurs pour la correction du vent et la planification de la route.

Exercices pratiques

1. Trouvez la magnitude et la direction du vecteur allant de A(2,2) à B(7,6).

   • Composantes : ⟨7−2, 6−2⟩ = ⟨5, 4⟩
   • Magnitude : √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,4
   • Direction : θ = arctan(4/5) ≈ 38,7°

2. Un avion vole 200 km vers l’est puis 150 km vers le nord. Trouvez la magnitude et la direction du vecteur déplacement résultant.

   • Composantes : ⟨200, 150⟩
   • Magnitude : √(200² + 150²) = √(40000 + 22500) = √62500 = 250 km
   • Direction : θ = arctan(150/200) ≈ 36,9° au nord-est

Résumé

Les vecteurs sont des grandeurs fondamentales en mathématiques, physique, ingénierie et navigation. Leur puissance réside dans la représentation à la fois de la magnitude et de la direction, permettant une modélisation précise des phénomènes réels, des forces et vitesses aux mouvements et à la navigation. La maîtrise des concepts liés aux vecteurs permet une analyse et une résolution efficaces de problèmes dans d’innombrables domaines scientifiques et techniques.