Centroid (Geometrické centrum): Slovník pojmov v letectve a matematike

Definícia a základné pojmy

Centroid, známy aj ako geometrické centrum, je aritmetický priemer polohy všetkých bodov vnútri útvaru, telesa alebo systému. Pre objekty s rovnomernou hustotou sa zhoduje s hmotnostným centrom a v konštantnom gravitačnom poli s ťažiskom. Centroid je bod, v ktorom by útvar vyrobený z rovnomerného materiálu dokonale vyvážil—podobne ako keď plochú, tuhú dosku položíte na špendlík.

Tento koncept je základom v matematike, inžinierstve i letectve. V letectve je znalosť centroidu kľúčová pre hmotnosť a vyváženie, letovú spôsobilosť a bezpečnosť. Poloha centroidu závisí len od geometrie útvaru, pokiaľ sa nemení hustota; vtedy sa používa „hmotnostné centrum“.

Alternatívne názvy zahŕňajú hmotnostné centrum, ťažisko a barycentrum (v kozmickej mechanike). V letectve ICAO a ďalšie autority využívajú výpočty založené na centroidoch na určenie ťažiska lietadla, ktoré ovplyvňuje letovú dynamiku, hospodárenie s palivom a bezpečnosť nákladu.

Fyzikálna interpretácia

Z fyzikálneho hľadiska je centroid bod, v ktorom by útvar alebo teleso z rovnomerného materiálu „dokonale vyvážil“ vo všetkých smeroch. Pri plochej, rovnomernej doske je to miesto, kde môže odpočívať v rovnováhe na bode. V troch rozmeroch je centroid bod, v ktorom sa účinok gravitácie na teleso správa, akoby bola všetka hmotnosť sústredená v tomto bode.

V lietadlách je centroid základom ťažiska (CG). Správne rozloženie hmotnosti—palivo, cestujúci, náklad a konštrukcia—zabezpečuje, že centroid (CG) zostáva v povolených medziach. Prekročenie týchto limitov môže ohroziť ovládateľnosť, spôsobiť pád alebo až štrukturálne zlyhanie. Pri analýze letiskových plôch, dráh a pojazdových ciest sa centroid využíva na modelovanie rozloženia zaťaženia a napätia, čím sa zabezpečuje bezpečnosť prevádzky.

Centroid je tiež kľúčový pre dynamickú analýzu: jeho poloha voči aerodynamickým centrám ovplyvňuje momenty, manévrovateľnosť a stabilitu.

Matematická formulácia

Diskrétne množiny bodov

Pre ( n ) bodov so súradnicami ( (x_i, y_i) ):

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \right) ]

Ak má každý bod hmotnosť ( m_i ):

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{ \sum_{i=1}^n m_i x_i }{ \sum_{i=1}^n m_i }, \frac{ \sum_{i=1}^n m_i y_i }{ \sum_{i=1}^n m_i } \right) ]

Tento prístup sa v letectve používa na určenie naloženého CG z daných polôh a hmotností.

Trojuholník

Pre vrcholy trojuholníka ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) ):

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) ]

Centroid rozdeľuje každú strednicu v pomere 2:1 (bližšie k stredu strany).

Mnohouholník

Pre mnohouholník s vrcholmi ( (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n) ) (kde ( (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1) )):

[ A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ] [ \bar{x} = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (x_i + x_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ] [ \bar{y} = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ]

Používa sa v CAD, štrukturálnej a zaťažovacej analýze pri nepravidelných tvaroch.

Rovinná oblasť (spojitá)

Pre oblasť ( R ) s plochou ( A ):

[ \bar{x} = \frac{1}{A} \iint_{R} x , dA ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_{R} y , dA ]

Pre oblasti ohraničené krivkami ( y = g(x), y = f(x) ), ( x \in [a, b] ):

[ A = \int_a^b [g(x) - f(x)],dx ] [ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x [g(x) - f(x)],dx ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \frac{1}{2} [g(x)^2 - f(x)^2],dx ]

Nezastupiteľné pri aerodynamických plochách (krídla, výškovky) s krivkovými profilmi.

Teleso (3D)

Pre teleso s objemom ( V ):

[ \bar{x} = \frac{1}{V} \iiint_{V} x , dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \iiint_{V} y , dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint_{V} z , dV ]

Používa sa pri komponentoch, ako sú palivové nádrže a nákladové priestory.

Vlastnosti centroidu

• Bod rovnováhy: Centroid je rovnovážny bod útvarov s rovnomernou hustotou.
• Vnútorná poloha: Pri konvexných tvaroch je centroid vždy vnútri; pri konkávnych môže byť aj mimo.
• Priesečník stredníc: V trojuholníkoch je centroid priesečníkom stredníc.
• Rozdelenie stredníc: Rozdeľuje strednice trojuholníka v pomere 2:1.
• Adicita: Centroid zloženého útvaru je vážený priemer podľa plochy/objemu/hmotnosti jeho častí.
• Symetria: Pri symetrických útvaroch centroid leží na osiach alebo v strede symetrie.
• Nezmeniteľnosť transformáciou: Centroid zostáva pri posune alebo otáčaní útvaru nemenný.

Centroid – vzorce pre štandardné útvary

2D útvary

3D telesá

Lamina (2D oblasti)

Riešené príklady

Príklad 1: Centroid trojuholníka

Zadané: Vrcholy ( (2,6), (4,9), (6,15) )
Riešenie:
[ \bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4, \quad \bar{y} = \frac{6+9+15}{3} = 10 ]
Centroid: ( (4, 10) )

Príklad 2: Centroid krivkovej oblasti

Oblasť: Ohraničená ( y = x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ), ( x = 1 )
[ A = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} ] [ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^1 x^3 dx = \frac{3}{4} ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{1}{2} x^4 dx = \frac{3}{10} ]
Centroid: ( (\frac{3}{4}, \frac{3}{10}) )

Príklad 3: Centroid zloženej plochy

Tvar tvorí obdĺžnik (šírka 4, výška 2) a na ňom je rovnostranný trojuholník (strana 2).
Centroid určte výpočtom plochy a centroidu každej časti, potom použite vážený priemer pre zložené centroidy.

Aplikácie v letectve a inžinierstve

• Hmotnosť a vyváženie lietadla: Výpočty centroidu zabezpečujú, že CG zostáva v bezpečných prevádzkových medziach bez ohľadu na konfiguráciu zaťaženia, úbytok paliva či rozloženie pasažierov.
• Štrukturálna analýza: Slúži na určenie trás napätia a vhodných miest podpier pre maximálnu štrukturálnu integritu.
• Aerodynamika: Referenčný bod pre krútiace momenty a manévrovateľnosť, keďže aerodynamické sily pôsobia vzhľadom na centroid/CG.
• Letisková infraštruktúra: Analýza napätia v plochách a rozloženia zaťaženia pod lietadlami.

Ďalšie zdroje a referencia

• Príručka FAA Weight & Balance Handbook (FAA-H-8083-1B)
• ICAO Doc 8168 Aircraft Operations
• „Engineering Mechanics: Statics“ – Hibbeler, R.C.
• NASA Glenn Research Center: Center of Gravity (https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/cg.html )
• Wikipédia: Centroid

Centroid je viac než len matematická abstrakcia—je to kľúčový pojem, ktorý zabezpečuje bezpečnosť, efektivitu a spoľahlivosť lietadiel i štruktúr, ktoré ich podporujú.