Vektor — veličina s velikostí a směrem

Vektor je matematický objekt, který má velikost (délku) i směr. Ve vědě a inženýrství jsou vektory nepostradatelné pro popis fyzikálních veličin, kde záleží na orientaci, jako je síla, rychlost a posunutí. Na rozdíl od skalárů—které jsou plně popsány jedinou hodnotou (například hmotnost, teplota)—vyžadují vektory jak hodnotu, tak směr.

Klíčové pojmy

• Vektor: Veličina s velikostí i směrem, obvykle reprezentovaná algebraicky jako uspořádané dvojice (2D), trojice (3D) nebo n-tice (nD) a graficky jako šipky.
• Skalár: Veličina pouze s velikostí, bez směru (například teplota, hmotnost).
• Velikost: Délka nebo velikost vektoru.
• Směr: Orientace vektoru, často popsaná úhlem vůči referenční ose.
• Složky: Projekce vektoru do souřadnicových os; ve 2D: x a y, ve 3D: x, y, z.
• Jednotkový vektor: Vektor o velikosti 1, určující pouze směr.
• Výsledný vektor: Součet nebo kombinovaný účinek dvou či více vektorů.
• Posunutí: Vektor popisující přímočarou vzdálenost a směr z počáteční do koncové polohy.

K čemu se vektory používají?

Vektory jsou základním nástrojem v mnoha oborech:

• Fyzika: K popisu sil, rychlostí, zrychlení, hybnosti a polí.
• Inženýrství: Pro analýzu konstrukcí, výpočty napětí a řízení robotiky.
• Navigace a letectví: Pro plánování kurzů, korekci větru a určování trasy.
• Geovědy: K vyjádření pohybu litosférických desek, skluzu při zemětřesení a směrů proudění.
• Počítačová grafika: Pro vykreslování pohybu, osvětlení a prostorové transformace.

Reálný příklad: Pohyb litosférických desek

Na tektonických mapách šipky (vektory) znázorňují pohyb desek. Délka šipky odpovídá rychlosti (například mm/rok) a směr udává orientaci pohybu. Vědci tyto vektory využívají k analýze hranic desek, akumulace napětí a seizmického rizika.

Vektor vs. skalár: rychlý přehled

Jak se vektory znázorňují?

1. Geometrická (šipková) forma

Vektory se často kreslí jako šipky. Patka označuje počáteční bod, špička směřuje požadovaným směrem. Délka šipky je úměrná velikosti.

2. Složkový (kartézský) zápis

Vektory lze zapsat jako uspořádané dvojice nebo trojice:

• Ve 2D: v = ⟨x, y⟩
• Ve 3D: v = ⟨x, y, z⟩

Pokud vektor začíná v bodě (x₀, y₀) a končí v (x₁, y₁):

v = ⟨x₁ − x₀, y₁ − y₀⟩

3. Zápis pomocí jednotkových vektorů

• 2D: v = a·i + b·j
• 3D: v = a·i + b·j + c·k

Kde i, j a k jsou jednotkové vektory ve směru os x, y a z.

Velikost a směr vektoru

Je-li v = ⟨x, y⟩:

• Velikost:
  |v| = √(x² + y²)
• Směr (úhel θ):
  θ = arctan(y / x) (pro správný kvadrant použijte atan2(y, x))

Ve 3D: |v| = √(x² + y² + z²).

Řešený příklad

Z bodu P(1, 1) do Q(5, 3):

• Složky: ⟨5−1, 3−1⟩ = ⟨4, 2⟩
• Velikost: √(4² + 2²) = √20 ≈ 4,47
• Směr: θ = arctan(2/4) ≈ 26,57°

Rozklad vektoru na složky

Vektor o velikosti v a úhlu θ:

• x-složka: vₓ = v·cos(θ)
• y-složka: v_y = v·sin(θ)

Příklad:
Vítr fouká rychlostí 50 uzlů, 30° na východ od severu:

• Východní složka: 50·sin(30°) = 25 uzlů
• Severní složka: 50·cos(30°) ≈ 43,3 uzlů

Vektorové operace

Sčítání

Pokud a = ⟨aₓ, a_y⟩, b = ⟨bₓ, b_y⟩:

a + b = ⟨aₓ + bₓ, a_y + b_y⟩

Graficky: Patku druhého vektoru přiložíme ke špičce prvního (metoda špička-k patce).

Násobení skalárem

Násobení číslem k:

k·v = ⟨k·vₓ, k·v_y⟩

Pokud k < 0, vektor změní směr na opačný.

Reálné příklady použití

• Pohyb litosférických desek: Vektory ukazují rychlost a směr pohybu desek.
• Síly při sesuvu: Vektor gravitace rozkládáme na složky rovnoběžné a kolmé ke svahu.
• Navigace a GPS: Posunové vektory určují nejkratší cestu a směr.
• Fyzika a inženýrství: Vektory tvoří základ Newtonových zákonů, pohybu střel a momentu síly.
• Letecká doprava: Piloti používají vektory pro korekci větru a plánování trasy.

Procvičování

1. Najděte velikost a směr vektoru z A(2,2) do B(7,6).

   • Složky: ⟨7−2, 6−2⟩ = ⟨5, 4⟩
   • Velikost: √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,4
   • Směr: θ = arctan(4/5) ≈ 38,7°

2. Letadlo letí 200 km na východ a pak 150 km na sever. Najděte velikost a směr výsledného posunutí.

   • Složky: ⟨200, 150⟩
   • Velikost: √(200² + 150²) = √(40000 + 22500) = √62500 = 250 km
   • Směr: θ = arctan(150/200) ≈ 36,9° severovýchodně

Shrnutí

Vektory jsou základními veličinami v matematice, fyzice, inženýrství a navigaci. Jejich síla spočívá v reprezentaci velikosti i směru, což umožňuje přesné modelování reálných jevů od sil a rychlostí až po pohyb a navigaci. Zvládnutí vektorových konceptů umožňuje efektivní analýzu a řešení úloh v nespočtu vědeckých a technických oborů.