Kegelprojektion

Eine Kegelprojektion ist eine grundlegende Kartenprojektionstechnik, bei der die kugelförmige oder ellipsoidische Erdoberfläche mathematisch auf einen Kegel übertragen wird, der anschließend zu einer flachen Karte ausgerollt wird. Dadurch entstehen Karten mit Gradnetzen, bei denen Breitenkreise als konzentrische Bögen und Längenkreise von einem zentralen Punkt ausstrahlen. Dies bietet eine elegante Lösung zur Abbildung von Regionen mittlerer Breiten, die in Ost-West-Richtung breiter als in Nord-Süd-Richtung sind.

Historische Entwicklung

Die geometrische Grundlage für Kegelprojektionen reicht bis zu den antiken griechischen Mathematikern zurück, aber praktische und explizite Formen entstanden während der Renaissance und Aufklärung. Im 18. und 19. Jahrhundert formalisierten einflussreiche Kartografen wie Johann Heinrich Lambert (Lambert-Kegelkonforme Projektion, 1772) und Heinrich Christian Albers (Albers-Flächentreue Kegelprojektion, 1805) die am weitesten verbreiteten Kegelprojektionen. Heute verlassen sich Standards von USGS, ICAO und anderen Organisationen für nationale und regionale Karten auf diese Projektionen.

Geometrische Konstruktion

Eine Kegelprojektion wird konzeptionell erzeugt, indem ein Kegel so über den Globus gelegt wird, dass er:

• Tangential den Globus an einem einzigen Breitengrad (eine Standardparallele) berührt oder
• Sekant den Globus an zwei Breitengraden schneidet (zwei Standardparallelen).

Nach der Projektion der Erdmerkmale auf den Kegel wird dieser am zentralen Meridian „aufgeschnitten“ und flach ausgebreitet. Dabei entstehen:

• Parallelen: Bögen konzentrischer Kreise,
• Meridiane: Gerade Linien, die vom Scheitelpunkt ausgehen (in der Regel außerhalb des Kartenbereichs).

Der zentrale Meridian und der Breitengrad des Ursprungs definieren zusätzlich das Kartenmittelpunkt und das Koordinatensystem.

Die mathematische Transformation zwischen geografischen Koordinaten (Breite φ, Länge λ) und ebenen Koordinaten (x, y) variiert je nach Projektionstyp und gewählten Parametern (siehe Snyder, „Map Projections—A Working Manual“).

Verzerrungsmuster

Alle Kartenprojektionen verursachen Verzerrungen. Bei Kegelprojektionen gilt:

• Der Maßstab ist entlang der Standardparallelen exakt und die Verzerrung minimal.
• Die Verzerrung nimmt nach Norden und Süden von diesen Parallelen zu.
• Sekante Kegelprojektionen (zwei Standardparallelen) verteilen die Verzerrung gleichmäßiger als tangentiale Projektionen (eine Standardparallele).

Mit der Tissot’schen Indikatrix werden diese Verzerrungen visualisiert: Bei der Albers-Flächentreuen Projektion bleiben die Flächen erhalten, nicht aber die Form; bei der Lambert-Kegelkonformen Projektion bleiben lokale Formen erhalten, nicht jedoch die Fläche.

Wichtige Typen von Kegelprojektionen

Albers-Flächentreue Kegelprojektion

Erhält Flächen und ist ideal für thematische und statistische Karten, bei denen die genaue Darstellung räumlicher Größen wichtig ist.

• Verzerrung: Formen und Winkel werden abseits der Standardparallelen verzerrt.
• Anwendungsfälle: USGS-thematische Karten, Volkszählung, Landnutzung, Umweltstudien.

Lambert-Kegelkonforme Projektion

Erhält lokale Formen und Winkel – unerlässlich für Navigation und meteorologische Anwendungen.

• Verzerrung: Flächen und Distanzen bleiben nur entlang der Standardparallelen erhalten, ansonsten nicht.
• Anwendungsfälle: State Plane Coordinate System (SPCS), Luftfahrtkarten, topografische Karten.

Polyconic-Projektion

Jede Parallele wird so projiziert, als wäre sie eine Standardparallele, sodass für alle Parallelen maßstabsgetreue Bögen und ein gerader zentraler Meridian entstehen.

• Verzerrung: Weder konform noch flächentreu; die Verzerrung nimmt mit der Entfernung vom Zentrum zu.
• Anwendungsfälle: Historische topografische Karten des USGS.

Vergleich mit anderen Projektionsklassen

• Im Vergleich zu zylindrischen Projektionen: Kegelprojektionen minimieren Verzerrungen in mittleren Breiten. Zylindrische Projektionen (wie Mercator) sind besser für Äquatorregionen, verzerren jedoch hohe Breiten.
• Im Vergleich zu azimutalen Projektionen: Azimutale Projektionen eignen sich am besten für polare oder punktzentrierte Karten; Kegelprojektionen sind optimal für Regionen mit großer Ost-West-Ausdehnung in mittleren Breiten.
• Tangential vs. sekant: Sekante Projektionen (zwei Standardparallelen) sind für größere Regionen überlegen, da die Verzerrung gleichmäßig verteilt wird.

Mathematische Formulierung

Die Transformationsgleichungen hängen vom Projektionstyp und den Parametern ab:

• Lambert-Kegelkonforme Projektion: Erhält Winkel; verwendet trigonometrische und logarithmische Funktionen.
• Albers-Flächentreue Kegelprojektion: Erhält Flächen; verändert Bogenradien und Abstände zur Flächentreue.
• Polyconic: Projiziert jede Parallele einzeln, was zu komplexen, aber lokal genauen Formen führt.

Für detaillierte Formeln siehe Snyder: „Map Projections—A Working Manual“ (USGS Professional Paper 1395).

Anwendungen

Staatliche und nationale Kartierung

• USGS: Verwendet Albers-Flächentreue für thematische Karten und Lambert-Kegelkonforme Projektion für topografische und Basiskarten.
• State Plane Coordinate System: Viele Bundesstaaten verwenden die Lambert-Kegelkonforme Projektion für Vermessungs- und Ingenieursgenauigkeit.

Luftfahrt- und Wetterkarten

• Die Lambert-Kegelkonforme Projektion ist Standard für die Flugnavigation und Wetterkarten, da sie lokale Winkel und Formen erhält.

Thematische & statistische Karten

• Die Albers-Flächentreue Kegelprojektion ist bevorzugt für Bevölkerungs-, Klima- und Ressourcen-Karten, bei denen eine genaue Flächenmessung entscheidend ist.

Auswahl einer Kegelprojektion

Bei der Auswahl einer Kegelprojektion sollten Sie Folgendes berücksichtigen:

1. Geografische Ausdehnung und Ausrichtung: Geeignet für Regionen, die in Ost-West-Richtung breiter als in Nord-Süd-Richtung sind und in mittleren Breiten liegen.
2. Verwendungszweck: Albers für Flächentreue, Lambert für Form- und Richtungsgenauigkeit.
3. Parameterauswahl: Wählen Sie Standardparallelen so, dass sie das Interessensgebiet umschließen und die Verzerrung minimiert wird.

Literatur

• Snyder, J.P. (1987). Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395.
• NGA (2020). Department of Defense World Geodetic System 1984—Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems.
• ICAO Doc 9674, Manual on Air Navigation Services.

Zusammenfassungstabelle

Kegelprojektionen bleiben vielseitige Werkzeuge der modernen Kartografie und bieten einen ausgewogenen Ansatz für die Herausforderung, eine kugelförmige Welt auf einer flachen Fläche darzustellen.

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