Desviación — Diferencia respecto al valor esperado (Estadística)

Introducción

La desviación es un concepto central en estadística y probabilidad, que representa la diferencia entre un valor observado y el valor esperado (media) de una variable aleatoria. Ya sea al analizar errores de medición, evaluar riesgos o monitorear la calidad, la desviación proporciona el paso fundamental para comprender cuán típico o inusual es un valor específico. Este concepto se utiliza ampliamente en campos como la ingeniería, la aviación, las finanzas y la ciencia de datos para tareas que van desde el control de procesos hasta la predicción y el análisis de la fiabilidad.

Comprendiendo el valor esperado (media)

El valor esperado (o media, denotado ( \mu )) es el promedio teórico a largo plazo de una variable aleatoria. Para variables discretas, se calcula como:

[ E(X) = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) ]

donde ( x_i ) son los valores posibles y ( P(x_i) ) sus probabilidades. En distribuciones continuas, se utiliza la integración en lugar de la suma. El valor esperado actúa como el “centro de gravedad” de la distribución: si las probabilidades fueran pesos físicos en una recta numérica, la media es donde se equilibra.

Cálculo de la desviación

La desviación para una observación particular ( x ) es:

[ \text{Desviación} = x - \mu ]

• Desviación positiva: ( x > \mu ) (por encima de la media)
• Desviación negativa: ( x < \mu ) (por debajo de la media)
• Desviación cero: ( x = \mu ) (igual a la media)

Las desviaciones forman la base de muchas medidas estadísticas, incluyendo la varianza y la desviación estándar. En la práctica, ayudan a identificar datos inusuales (valores atípicos) y a caracterizar la dispersión de un conjunto de datos.

Propiedades de las desviaciones

• La suma de las desviaciones respecto de la media para una población completa es siempre cero:

  [ \sum (x - \mu) = 0 ]

• La varianza y la desviación estándar miden la magnitud de las desviaciones, ignorando su dirección (ya que los valores se elevan al cuadrado o se hacen positivos).

• La desviación estándar siempre es no negativa.

• En resultados equiprobables, la desviación se mide respecto de la media aritmética.

Varianza y desviación estándar

Varianza (( \sigma^2 ))

La varianza cuantifica el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto de la media:

[ \sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(x_i) ]

Elevar al cuadrado evita que las desviaciones positivas y negativas se compensen y resalta las desviaciones más grandes.

Desviación estándar (( \sigma ))

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} ]

Vuelve a las unidades originales de medición, haciendo la interpretación más intuitiva. Una desviación estándar baja indica datos agrupados; una alta indica datos más dispersos.

Ley de los grandes números

La Ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos, la media muestral converge al valor esperado. Esto fundamenta la fiabilidad de la inferencia estadística y justifica el uso del valor esperado como medida central en muestras grandes.

[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu ]

Probabilidad teórica vs. experimental

• Probabilidad teórica: Basada en modelos matemáticos.
• Probabilidad experimental: Basada en frecuencias observadas.

Las desviaciones entre ambas disminuyen a medida que se recogen más datos, debido a la Ley de los grandes números. Este proceso ayuda a validar modelos y revelar la variabilidad real.

Desviación en la práctica

La desviación se utiliza en una variedad de aplicaciones reales:

Control de calidad

Las desviaciones respecto a los valores esperados en la manufactura revelan variabilidad en la producción y pueden señalar problemas sistemáticos. Los gráficos de control estadístico de procesos usan desviaciones para detectar cambios o tendencias en los procesos, asegurando la fiabilidad del producto.

Evaluación de riesgos (finanzas, ingeniería)

La varianza y la desviación estándar de los rendimientos cuantifican la volatilidad de la inversión. Una desviación estándar alta indica alto riesgo, mientras que valores bajos indican estabilidad.

Aviación e ingeniería

La desviación es fundamental en el análisis de fiabilidad. Por ejemplo, las desviaciones respecto a la vida útil esperada de partes informan los programas de mantenimiento y los márgenes de seguridad.

Análisis de encuestas

Identificar desviaciones respecto a la media en las respuestas de encuestas destaca la diversidad de experiencias y señala áreas de mejora.

Juegos de azar

La desviación, la varianza y la desviación estándar ayudan a determinar el riesgo y los resultados esperados en escenarios de apuestas.

Ejemplo resuelto: Días de juego de un equipo de fútbol

Problema: Un equipo de fútbol juega 0, 1 o 2 días por semana con las siguientes probabilidades:

Paso 1: Valor esperado

[ \mu = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (2 \times 0.3) = 1.1 ]

Paso 2: Desviaciones

Paso 3: Desviaciones al cuadrado

Paso 4: Desviaciones al cuadrado ponderadas

Varianza: ( 0.49 )
Desviación estándar: ( 0.7 )

Interpretación: La desviación semanal típica respecto a la media de días jugados es de aproximadamente 0.7 días.

Ejemplo real: Llanto de recién nacido despierta a la madre

Una encuesta a 50 madres registra cuántas veces por semana su recién nacido las despierta después de medianoche:

• Valor esperado: ( \mu = 2.1 )
• Varianza: ( 1.05 )
• Desviación estándar: ( 1.02 )

Interpretación: La mayoría de las madres son despertadas unas 2.1 veces por semana en promedio, con una variación individual de aproximadamente 1 vez.

Problema de práctica: Llamadas de enfermera en hospital

Un investigador encuesta a pacientes postoperatorios sobre llamadas a la enfermera durante un turno de 12 horas:

• Valor esperado: ( \mu = 2.32 )
• Desviación para 3 llamadas: ( 0.68 )
• Varianza: ( 1.4977 )
• Desviación estándar: ( 1.224 )

Tabla de términos clave

Ilustración visual

Figura: Visualización de la media, la desviación y la desviación estándar en una distribución de probabilidad.

Conclusión

La desviación es la medida fundamental de cuánto se aparta una observación individual del valor esperado. Es esencial para calcular la varianza y la desviación estándar, y para comprender la dispersión, el riesgo y la calidad de los datos. Dominar la desviación y sus conceptos relacionados permite tomar decisiones fundamentadas en ingeniería, finanzas, control de calidad y ciencia de datos.

Véase también

• Varianza
• Desviación estándar
• Ley de los grandes números
• Valor esperado
• Distribuciones de probabilidad
• Control estadístico de procesos

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