Glossaire de la valeur, de la quantité numérique et de la valeur numérique en mathématiques

Le langage mathématique repose sur une terminologie précise. Des termes fondamentaux comme quantité, valeur et valeur numérique sous-tendent tous les calculs, mesures et résolutions de problèmes. Pourtant, leur définition exacte prête souvent à confusion, notamment lors du passage entre les mathématiques, les sciences et les contextes quotidiens. Ce glossaire propose des explications faisant autorité, en s’appuyant sur des normes internationales telles que le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), l’ISO 80000 et le Système International d’Unités (SI).

Quantité

Définition et contexte mathématique

Une quantité est une propriété d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance qui peut être distinguée qualitativement et déterminée quantitativement. Selon l’ISO 80000 et le Vocabulaire International de Métrologie (VIM), une quantité n’est pas simplement un nombre, mais une valeur exprimée comme le produit d’un nombre et d’une unité. Par exemple, « 5 mètres » est une quantité, où « 5 » est la valeur numérique et « mètres » l’unité.

Points clés :

• Toute propriété mesurable (longueur, masse, temps, etc.) est une quantité.
• Les quantités sont toujours exprimées comme le produit d’un nombre et d’une unité.
• Omettre les unités conduit à de l’ambiguïté (par exemple, « 10 » peut signifier 10 pommes, 10 mètres ou 10 secondes).

Tableau : Types de quantités

Les quantités en mathématiques et en sciences

Les quantités sont essentielles dans la modélisation, l’expérimentation, l’ingénierie et la vie quotidienne. Elles peuvent être :

• Discrètes : Dénombrables (ex. : nombre d’élèves)
• Continues : Mesurables, pouvant prendre toute valeur dans un intervalle (ex. : masse)
• Scalaires : Seulement une magnitude (ex. : température)
• Vecteurs : Magnitude et direction (ex. : force, vitesse)

Exemples :

• En algèbre, une variable (comme x) représente une quantité inconnue.
• En géométrie, l’aire et le volume se calculent à partir des quantités données.

Exprimer une quantité : nombres et unités

Une quantité doit être exprimée sous la forme :

quantité = valeur numérique × unité

Exemples :

• 25 mètres (longueur)
• 3,5 kilogrammes (masse)

Utiliser les unités standard (par exemple, SI) garantit la clarté et la cohérence, en particulier en sciences et en ingénierie.

Tableau : Quantités dans la vie quotidienne

Valeur

Définition et contexte

La valeur d’une entité mathématique désigne sa grandeur, son importance ou le résultat qu’elle représente dans un contexte donné. Elle peut indiquer :

• Le résultat d’une expression (par exemple, la valeur de x dans une équation)
• La valeur spécifique d’un chiffre dans un nombre (valeur de position)
• Le résultat de la substitution de nombres dans des variables

Valeur de position et valeur absolue

• Valeur de position : Déterminée par la position du chiffre dans le nombre.
• Valeur absolue : Le chiffre lui-même, indépendamment de sa position.

Exemple : Nombre 4 582

Formule :
Valeur d’un chiffre = Valeur de position × Valeur absolue

Valeur en algèbre

En algèbre, la valeur d’une expression dépend de la substitution faite pour ses variables.
Par exemple, dans y = 2x + 1, si x = 3, alors la valeur de y est 7.

Valeur en mesure

En sciences, la valeur peut désigner :

• La valeur mesurée : Nombre obtenu à partir d’un instrument
• La valeur vraie : Valeur théorique, exacte (généralement inconnue)

Valeur numérique

Définition et contexte mathématique

Une valeur numérique est le nombre attribué à une quantité, une variable ou une expression, en excluant son unité. Selon le Vocabulaire International de Métrologie (VIM) :

La valeur numérique est la valeur d’une quantité exprimée comme un nombre pur, après division par l’unité.

Exemples :

• Dans « distance = 10 mètres », la valeur numérique est 10.
• Pour x + 3 = 7, la valeur numérique de x est 4.

Types de valeurs numériques

Les valeurs numériques comprennent de nombreux types :

• Nombres naturels (1, 2, 3, …)
• Nombres entiers (…, –2, –1, 0, 1, 2, …)
• Nombres rationnels (fractions)
• Nombres irrationnels (π, √2, …)
• Nombres réels (tous les précédents)
• Nombres complexes (a + bi)
• Valeur absolue : La valeur numérique non négative d’un nombre réel

Tableau : Valeurs numériques selon le contexte

Distinguer valeur, quantité et valeur numérique

Comprendre ces distinctions est essentiel pour communiquer et calculer avec précision :

Exemple détaillé :

• « Douzaine d’œufs » : la quantité est 12 œufs, la valeur est la valeur de chaque chiffre dans « 12 », la valeur numérique est 12.

Valeur de position, valeur absolue et valeur : tableau

Travailler avec les fractions, les décimales et les quantités

Les quantités ne se limitent pas aux nombres entiers. Les fractions et les décimales sont essentielles pour exprimer des valeurs non entières.

Grandeurs scalaires et vecteurs

• Scalaire : Uniquement une magnitude (masse, énergie)
• Vecteur : Magnitude et direction (force, vitesse)

Exemple :

• Distance (scalaire) : 5 km
• Déplacement (vecteur) : 5 km vers l’est

Normes internationales et références

• SI (Système International d’Unités) : Définit les unités standard pour les quantités
• ISO 80000 : Normalise les symboles, quantités et unités
• BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) : Supervise le SI et les vocabulaires de métrologie
• VIM (Vocabulaire International de Métrologie) : Définit les termes métrologiques, dont quantité et valeur numérique

Pour aller plus loin

• BIPM Vocabulaire International de Métrologie
• ISO 80000 – Grandeurs et unités
• Brochure SI

Résumé

• Quantité : propriété mesurable, toujours un nombre avec une unité
• Valeur : grandeur, importance ou résultat selon le contexte (chiffre, expression, mesure)
• Valeur numérique : nombre pur, sans unité, représentant la taille ou le résultat

Une compréhension claire de ces termes est fondamentale en mathématiques, en sciences et dans la résolution de problèmes quotidiens.

Foire aux questions

Q : Qu’est-ce qu’une quantité ?
R : Une propriété qui peut être mesurée et qui s’exprime toujours par une valeur numérique avec une unité.

Q : Quelle est la différence entre valeur et valeur numérique ?
R : La valeur est la grandeur ou l’importance dans un contexte donné ; la valeur numérique est simplement le nombre pur, sans unité.

Q : Pourquoi les unités sont-elles importantes ?
R : Elles évitent l’ambiguïté et assurent une interprétation et une communication correctes.

Q : Qu’est-ce que la valeur de position ?
R : La valeur qu’un chiffre possède en raison de sa position dans un nombre.

Q : Quelles sont les grandeurs scalaires et vectorielles ?
R : Les grandeurs scalaires n’ont qu’une magnitude ; les vecteurs ont une magnitude et une direction.

En maîtrisant ces distinctions, vous renforcez vos bases en mathématiques et améliorez votre capacité à communiquer et à résoudre efficacement des problèmes dans tous les domaines des sciences, de la technologie, de l’ingénierie et des mathématiques.