Beesési szög az optikában

Meghatározás

A beesési szög az a szög, amelyet egy beérkező sugár (például fénysugár) és a normális – egy, a felülethez merőleges egyenes – zár be azon a ponton, ahol a sugár eléri a felületet. Ez az alapvető geometriai összefüggés szabályozza, hogyan lépnek kölcsönhatásba a fény és más hullámok a felületekkel: visszaverődéssel, töréssel vagy elnyelődéssel. A beesési szöget mindig a beérkező sugár és a normális közötti szögként mérik, a szakirodalomban ( i ) vagy ( \theta_i ) jelöli.

A beesési szög megértése elengedhetetlen az optikában, a mérnöki tudományokban, a repülésben és a telekommunikációban, mivel ez határozza meg a sugár további útját – hogy visszaverődik, megtörik vagy elnyelődik.

Alapfogalmak

Beesési pont:
Az a konkrét pont a felületen, ahol a beérkező sugár eléri azt.

Normális:
Egy képzeletbeli, a felülethez 90°-ban merőleges egyenes a beesési pontban. Görbült felületeknél a normális a pontban húzott érintőre merőleges.

Beesési szög ((i)):
A beérkező sugár és a normális közötti szög az eredeti közegben.

Visszaverődési szög:
A visszavert sugár és a normális közötti szög. Ideális tükröknél ez megegyezik a beesési szöggel.

Törési szög:
A megtört (elhajló) sugár és a normális közötti szög, amikor a sugár más közegbe lép.

Súroló szög:
A beérkező sugár és magának a felületnek a szöge, amely kiegészíti a beesési szöget.

Matematikai megfogalmazás

A beesési szöget fokban (°) vagy radiánban mérjük.

Szokásos definíció

[ \text{Beesési szög} = \text{A beérkező sugár és a normális közötti szög a beesési pontban} ]

Felületi szögből számítva

Ha ismerjük az (( \alpha )) szöget a beérkező sugár és a felület között: [ i = 90^\circ - \alpha ]

Trigonometriai meghatározás

Ha a beérkező sugár ( h ) magasságból és ( d ) távolságból érkezik: [ i = \arctan\left(\frac{h}{d}\right) ]

Vektoriális alak (haladó szint)

[ i = \arccos\left( \frac{ \vec{r} \cdot \vec{n} }{ |\vec{r}| |\vec{n}| } \right ) ] ahol ( \vec{r} ) a beérkező sugár iránya, ( \vec{n} ) a normális vektor.

Vizuális magyarázat

A beesési szög ((i)) a beérkező sugár és a felület normálisa közötti szög a határfelület elérési pontjánál.

Kidolgozott példák

1. példa:
Egy fénysugár 10°-os szöget zár be a síktükör felületével. Mennyi a beesési szög?
Megoldás: (i = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ)

2. példa:
Egy sugár 56°-os szöget zár be egy visszaverő felülettel.

• Beesési szög: ( 34^\circ )
• Visszaverődési szög: ( 34^\circ )
• Visszavert sugár és a felület közötti szög: ( 56^\circ )
• Beérkező és visszavert sugarak közötti szög: ( 68^\circ )

3. példa:
Egy fénysugár levegőben (( n_1 = 1,00 )) 45°-os beesési szöggel érkezik a vízre (( n_2 = 1,33 )). Mennyi a megtört szög?
A Snell-törvény szerint:
[ 1,00 \times \sin(45^\circ) = 1,33 \times \sin(r) \implies r \approx 32,1^\circ ]

4. példa:
Optikai szál (üveg ( n_1 = 1,5 ), köpeny ( n_2 = 1,48 )): Mennyi a teljes visszaverődéshez szükséges minimális beesési szög?
[ \sin(C) = \frac{1,48}{1,5} \implies C \approx 80,7^\circ ] Teljes visszaverődés akkor következik be, ha a beesési szög nagyobb mint 80,7° (a normálistól mérve).

Törvények és összefüggések

Visszaverődés törvénye

[ \text{Beesési szög} = \text{Visszaverődési szög} ]

Mindkettőt a normálistól mérjük. Ez a törvény sík- és görbült tükrökre, polírozott fémekre és bizonyos átlátszó felületekre is érvényes.

Törés (Snell-törvény)

[ n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r) ]

Ahol ( n_1 ), ( n_2 ) a törésmutatók, ( i ) a beesési szög, ( r ) a törési szög.

Teljes visszaverődés és kritikus szög

Akkor következik be, ha a fény sűrűbb közegből ritkább közegbe halad, és: [ \sin(C) = \frac{n_2}{n_1} ] Teljes visszaverődés, ha ( i > C ).

Alkalmazások

• Tükrök és optikai eszközök: Meghatározza a sugár útját periszkópokban, távcsövekben, lézerrendszerekben és pilótafülke kijelzőkben.
• Lencsék és képalkotás: Befolyásolja a fókuszt, a kép élességét és az optikai tervezést.
• Optikai szálak: Biztosítja, hogy a fény a szálban maradjon, hatékony adatátvitelt lehetővé téve.
• Repülés: A pilótafülke ablakainak tervezése és a tükröződésmentesítés a beesési szögek szabályozásán alapul.
• Csillagászat: A tükrök elhelyezése és a távcső tervezése precíz szögkezelést igényel.
• Orvosi eszközök: Az endoszkópia és a lézeres műszerek a belső visszavert fénysugarak útjára épülnek.
• Drágakövek: A fazetták megfelelő szögben történő csiszolása maximalizálja a teljes visszaverődést és a ragyogást.
• Mindennapi élet: Vízfelszíni tükröződés, délibáb, és a szemüveg tükröződésmentes bevonatai.

Gyors tények

• A normálistól – nem a felülettől – mérjük.
• Visszaverődés törvénye: beesési szög = visszaverődési szög.
• Snell-törvény: összefüggés a beesési és törési szög között.
• Teljes visszaverődés: a szögnek meg kell haladnia a kritikus szöget.
• Súroló szög = 90° – beesési szög.
• Kulcsfontosságú az optikában, repülésben, optikai szálakban és más területeken.

Tudta?

• A gyémántok ragyogása annak köszönhető, hogy a fazetták növelik a teljes visszaverődés valószínűségét, így maximalizálják a fényességet.
• Az optikai szálak működése azon alapul, hogy a beesési szög nagyobb a kritikus szögnél, ezért hosszú távon tudnak internetes jeleket továbbítani.
• A délibáb akkor keletkezik, amikor a beesési szögek miatt a fény eltérő hőmérsékletű légrétegeken megtörik.

Összefoglaló táblázat

Ellenőrző kérdések

1. Egy fénysugár 25°-os szöget zár be egy üvegfelülettel. Mennyi a beesési szöge?
   Válasz: 65°

2. Ha a beesési szög 40°, a levegő/víz törésmutatói 1,0/1,33, mennyi a törési szög?
   Számolja ki a Snell-törvény segítségével!

3. Miért ragyognak annyira a gyémántok?
   A fazettákat úgy vágják, hogy a belső beesési szögek meghaladják a kritikus szöget, így ismétlődő teljes visszaverődés jön létre.

A beesési szög egyszerű, mégis rendkívül fontos fogalom mindenki számára, aki fényekkel, optikával vagy bármilyen határfelületet elérő hullámmal dolgozik. Helyes megértése pontos mérnöki munkát, ragyogó tervezést és a tudomány, technika számos területén fejlődést biztosít.