Centroid (Geometriai középpont): Repülés és matematika szószedet

Meghatározás és alapfogalmak

A centroid, más néven geometriai középpont, egy alakzat, test vagy rendszer összes pontjának számtani középhelyzete. Egyenletes sűrűségű tárgyaknál ez egybeesik a tömegközépponttal, és állandó gravitációs térben a súlyponttal is. A centroid az a pont, ahol egy alakzat tökéletesen kiegyensúlyozott lenne, ha egyenletes anyagból készülne—mintha egy lapos, merev lemezt egy tű tetején próbálnánk egyensúlyozni.

Ez az elv alapvető a matematikában, mérnöki tudományokban és a repülésben. A repülésben a centroid ismerete elengedhetetlen a súly- és egyensúly számításokhoz, a légialkalmassághoz és a biztonsághoz. A centroid helyét kizárólag az alakzat geometriája határozza meg, hacsak a sűrűség nem változik, ekkor a „tömegközéppontot” használják.

Alternatív elnevezések: tömegközéppont, súlypont, valamint baricentrum (csillagászati mechanikában). A repülésben az ICAO és más hatóságok centroid-alapú számításokat alkalmaznak a repülőgép súlypontjának meghatározására, amely befolyásolja a repülési dinamikát, üzemanyag-menedzsmentet és a terhelés biztonságát.

Fizikai értelmezés

Fizikai értelemben a centroid az a pont, ahol egy alakzat vagy test minden irányban „egyensúlyban” lenne, ha egyenletes anyagból készülne. Egy lapos, egyenletes lemez esetén ez az a hely, ahol egyensúlyban marad egy tűn. Háromdimenzióban a centroid az a pont, ahol a gravitációs hatás úgy érvényesül, mintha a teljes tömeg ezen az egy ponton összpontosulna.

Repülőgépek esetén a centroid alapvető a súlypont (CG) meghatározásához. A megfelelő tömegeloszlás—üzemanyag, utasok, rakomány és szerkezet—biztosítja, hogy a centroid (CG) az előírt határokon belül maradjon. Ezek átlépése rontja az irányíthatóságot, átesést vagy akár szerkezeti meghibásodást is okozhat. Repülőtéri pálya-, gurulóút- és futópálya-analízisnél a centroidot használják a terhelés eloszlásának és a feszültségek modellezésére, biztosítva az infrastruktúra biztonságos működését.

A centroid elhelyezkedése dinamikai szempontból is kulcsfontosságú: az aerodinamikai középponthoz viszonyított helyzete befolyásolja a bólintó-/fordulónyomatékokat, a manőverezhetőséget és a stabilitást.

Matematikai megfogalmazás

Diszkrét pontok halmaza

Ha ( n ) pont koordinátái ( (x_i, y_i) ):

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \right) ]

Ha mindegyikhez tömeg ( m_i ) tartozik:

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{ \sum_{i=1}^n m_i x_i }{ \sum_{i=1}^n m_i }, \frac{ \sum_{i=1}^n m_i y_i }{ \sum_{i=1}^n m_i } \right) ]

Ezt használják a repülésben a rakott CG ismert helyek és tömegek alapján történő meghatározására.

Háromszög

Háromszög csúcsai: ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) ):

[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) ]

A centroid minden súlyvonalat 2:1 arányban oszt (közelebb az oldal felezőpontjához).

Sokszög

Sokszög ( (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n) ) csúcsaival (( (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1) )):

[ A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ] [ \bar{x} = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (x_i + x_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ] [ \bar{y} = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) ]

Alkalmazás: CAD, szerkezeti és terhelés-analízis szabálytalan alakzatoknál.

Síkidom (folytonos)

Ha ( R ) tartomány területe ( A ):

[ \bar{x} = \frac{1}{A} \iint_{R} x , dA ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_{R} y , dA ]

Ha a tartományt görbék határolják: ( y = g(x), y = f(x) ), ( x \in [a, b] ):

[ A = \int_a^b [g(x) - f(x)],dx ] [ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x [g(x) - f(x)],dx ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \frac{1}{2} [g(x)^2 - f(x)^2],dx ]

Kulcsfontosságú aerodinamikai felületekhez (szárnyak, vezérsíkok) ívelt profil esetén.

Test (3D)

Ha a test térfogata ( V ):

[ \bar{x} = \frac{1}{V} \iiint_{V} x , dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \iiint_{V} y , dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint_{V} z , dV ]

Alkalmazás: például üzemanyagtartályok és rakodótér.

A centroid tulajdonságai

• Egyensúlyi pont: A centroid az egyenletes sűrűségű alakzatok egyensúlyi pontja.
• Belső elhelyezkedés: Konvex alakzatokban mindig belül található; konkáv alakzatoknál akár kívül is lehet.
• Súlyvonalak metszéspontja: Háromszögekben a centroid a súlyvonalak metszéspontja.
• Súlyvonalak arányos osztása: A háromszög súlyvonalait 2:1 arányban osztja.
• Additivitás: Összetett alakzat centroidja az alkotók terület/térfogat/tömeg szerinti súlyozott átlaga.
• Szimmetria: Szimmetrikus alakzatokban a centroid egybeesik a szimmetria tengelyeivel vagy középpontjával.
• Transzformációs invariancia: A centroid helye merev eltolás vagy forgatás során változatlan marad.

Centroid képletek standard alakzatokra

2D alakzatok

3D testek

Lemezek (2D tartományok)

Kidolgozott példák

1. példa: Háromszög centroidja

Adott: Csúcsok ( (2,6), (4,9), (6,15) )
Megoldás:
[ \bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4, \quad \bar{y} = \frac{6+9+15}{3} = 10 ]
Centroid: ( (4, 10) )

2. példa: Görbe tartomány centroidja

Tartomány: ( y = x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ), ( x = 1 ) által határolt
[ A = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} ] [ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^1 x^3 dx = \frac{3}{4} ] [ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{1}{2} x^4 dx = \frac{3}{10} ]
Centroid: ( (\frac{3}{4}, \frac{3}{10}) )

3. példa: Összetett alakzat centroidja

Egy alakzat egy téglalapból (szélesség 4, magasság 2) és egy szabályos háromszögből (oldalhossz 2) áll, amely a téglalap tetején található.
Határozza meg a centroidot az egyes részek területének és centroidjának kiszámításával, majd alkalmazza az összetett centroid képletét súlyozott átlaggal.

Alkalmazások a repülésben és mérnöki tudományokban

• Repülőgép súly & egyensúly: A centroid meghatározása biztosítja, hogy a CG minden üzemelési helyzetben a biztonságos határokon belül maradjon, függetlenül a rakodástól, üzemanyag-fogyástól vagy utaselrendezéstől.
• Szerkezeti analízis: Segítségével meghatározhatóak a feszültségi utak és a támaszpontok a maximális szerkezeti integritás érdekében.
• Aerodinamika: Referencia a bólintónyomatékokhoz és a manőverezhetőséghez, mivel az aerodinamikai erők a centroid/CG-hez viszonyítva hatnak.
• Repülőtéri infrastruktúra: A futópályák és pályák terhelési és feszültségelemzése a repülőgépek alatt.

További irodalom és hivatkozások

• FAA Weight & Balance Handbook (FAA-H-8083-1B)
• ICAO Doc 8168 Aircraft Operations
• „Engineering Mechanics: Statics” – Hibbeler, R.C.
• NASA Glenn Research Center: Center of Gravity (https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/cg.html )
• Wikipedia: Centroid

A centroid több mint egy matematikai absztrakció—alapvető fogalom, amely biztosítja a repülőgépek és a támogató szerkezetek biztonságát, hatékonyságát és megbízhatóságát.