Eltérés — Különbség a várt értéktől (statisztika)

Bevezetés

Az eltérés központi fogalom a statisztikában és a valószínűségszámításban, amely a megfigyelt érték és egy valószínűségi változó várt értéke (átlaga) közötti különbséget jelenti. Legyen szó mérési hibák elemzéséről, kockázatértékelésről vagy minőség-ellenőrzésről, az eltérés alapvető lépés annak megértéséhez, hogy egy adott érték mennyire tipikus vagy szokatlan. Ezt a fogalmat széles körben alkalmazzák olyan területeken, mint a mérnöki tudományok, a légiközlekedés, a pénzügy vagy az adattudomány, a folyamatirányítástól a megbízhatósági elemzésekig és előrejelzésekig.

A várt érték (átlag) megértése

A várt érték (vagy átlag, jele ( \mu )) egy valószínűségi változó elméleti, hosszú távú átlaga. Diszkrét változók esetén így számítjuk:

[ E(X) = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) ]

ahol ( x_i ) a lehetséges értékek, ( P(x_i) ) azok valószínűségei. Folytonos eloszlásoknál az összegzés helyett integrálást alkalmazunk. A várt érték a megoszlás “súlypontjaként” működik — ha a valószínűségeket fizikai súlyokként helyeznénk el egy számegyenesen, az átlag lenne az egyensúlyi pont.

Az eltérés kiszámítása

Egy adott megfigyelés ( x ) esetén az eltérés:

[ \text{Eltérés} = x - \mu ]

• Pozitív eltérés: ( x > \mu ) (az átlag felett)
• Negatív eltérés: ( x < \mu ) (az átlag alatt)
• Nulla eltérés: ( x = \mu ) (megegyezik az átlaggal)

Az eltérések képezik számos statisztikai mutató, így a variancia és a szórás alapját. A gyakorlatban segítenek a szokatlan adatok (kiugró értékek) azonosításában és az adathalmaz szóródásának jellemzésében.

Az eltérések tulajdonságai

• Az eltérések összege egy teljes sokaság esetén mindig nulla:

  [ \sum (x - \mu) = 0 ]

• A variancia és a szórás az eltérések nagyságát mérik, figyelmen kívül hagyva az irányukat (mivel négyzetre emeljük vagy abszolút értéket veszünk).

• A szórás mindig nemnegatív.

• Azonos valószínűségű kimenetek esetén az eltérést a számtani átlagtól mérjük.

Variancia és szórás

Variancia (( \sigma^2 ))

A variancia az átlagtól való négyzetes eltérések átlaga:

[ \sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(x_i) ]

A négyzetre emelés megakadályozza a pozitív és negatív eltérések kiegyenlítését, és kiemeli a nagyobb eltéréseket.

Szórás (( \sigma ))

A szórás a variancia négyzetgyöke:

[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} ]

Ez visszaadja az eredeti mértékegységet, így az értelmezés intuitívabbá válik. Kis szórás esetén az adatok szorosan csoportosulnak; nagy szórásnál az adatok szétszórtabbak.

Nagyszámok törvénye

A nagyszámok törvénye kimondja, hogy a mintavételi átlag a kísérletek számának növekedésével egyre inkább közelíti a várt értéket. Ez adja a statisztikai becslések megbízhatóságát, és indokolja a várt érték alkalmazását központi mutatóként nagy minták esetén.

[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu ]

Elméleti és tapasztalati valószínűség

• Elméleti valószínűség: Matematikai modelleken alapul.
• Tapasztalati valószínűség: Megfigyelt gyakoriságokon alapul.

Az eltérés a kettő között csökken az adatok számának növekedésével, a nagyszámok törvénye miatt. Ez segíti a modellek validálását és a valóságos változékonyság feltárását.

Eltérés a gyakorlatban

Az eltérést számos valós alkalmazásban használják:

Minőségellenőrzés

A gyártásban a várt értéktől való eltérések feltárják a termelés változékonyságát, és rávilágíthatnak rendszeres problémákra. A statisztikai folyamatirányítási diagramok eltéréseket használnak a folyamatok eltolódásainak vagy trendjeinek felismerésére, így biztosítva a termék megbízhatóságát.

Kockázatértékelés (pénzügy, mérnöki területek)

A hozamok varianciája és szórása méri a befektetések volatilitását. Nagy szórás nagy kockázatot jelez, míg alacsony érték stabilitást.

Légiközlekedés és mérnöki tudományok

Az eltérés kulcsfontosságú a megbízhatósági elemzésekben. Például az alkatrészek várható élettartamától való eltérések befolyásolják a karbantartási ütemterveket és a biztonsági tartalékokat.

Kérdőíves elemzések

Az átlagtól való eltérések feltárása a válaszokban rávilágít a tapasztalatok sokszínűségére és a fejlesztendő területekre.

Szerencsejátékok

Az eltérés, a variancia és a szórás segítik a kockázat és a várható eredmények meghatározását szerencsejáték esetén.

Kidolgozott példa: focicsapat heti játékos napjai

Feladat: Egy focicsapat hetente 0, 1 vagy 2 napot játszik a következő valószínűségekkel:

1. lépés: Várt érték

[ \mu = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (2 \times 0.3) = 1.1 ]

2. lépés: Eltérések

3. lépés: Négyzetes eltérések

4. lépés: Súlyozott négyzetes eltérések

Variancia: ( 0.49 )
Szórás: ( 0.7 )

Értelmezés: A heti játszott napok számának átlagtól való tipikus eltérése körülbelül 0,7 nap.

Valós példa: újszülött ébreszti az anyát

Egy felmérésben 50 anya hetente mérték, hányszor ébrednek fel újszülöttjük sírására éjfél után:

• Várt érték: ( \mu = 2.1 )
• Variancia: ( 1.05 )
• Szórás: ( 1.02 )

Értelmezés: Az anyák többsége átlagosan 2,1 alkalommal ébred fel hetente, egyéni eltéréseik körülbelül 1 alkalom.

Gyakorló feladat: kórházi nővérhívások

Egy kutató felméri a műtét utáni betegek nővérhívásait egy 12 órás műszakban:

• Várt érték: ( \mu = 2.32 )
• Eltérés 3 hívásnál: ( 0.68 )
• Variancia: ( 1.4977 )
• Szórás: ( 1.224 )

Kulcsfogalmak táblázata

Vizuális illusztráció

Kép: Az átlag, az eltérés és a szórás szemléltetése egy valószínűségi eloszlásban.

Összefoglalás

Az eltérés az alapvető mérőszám arra, hogy egyedi megfigyelések mennyire térnek el a várt értéktől. Elengedhetetlen a variancia és a szórás számításához, valamint az adatok szóródásának, kockázatának és minőségének megértéséhez. Az eltérés és kapcsolódó fogalmainak ismerete megalapozott döntéshozatalt tesz lehetővé a mérnöki tudományokban, pénzügyekben, minőségellenőrzésben és az adattudományban.

Lásd még

• Variancia
• Szórás
• Nagyszámok törvénye
• Várt érték
• Valószínűségi eloszlások
• Statisztikai folyamatirányítás

További részletekért vagy ha szeretné megbeszélni, hogyan alkalmazható az eltéréselemzés az Ön területén, kérjük, lépjen velünk kapcsolatba vagy foglaljon időpontot a bemutatóra .