Polokruh (polovina kruhu) – Kompletní slovníkový článek

Co je to polokruh?

Polokruh je dvojrozměrný geometrický útvar, který představuje přesně polovinu kruhu. Je ohraničen přímkou (průměrem) a zakřiveným okrajem (obloukem). Formálně řečeno, polokruh je množina bodů tvořících půlkruh, když průměr rozdělí celý kruh. Oblouk polokruhu měří 180 stupňů (π radiánů) a střed souhlasí se středem původního kruhu.

Polokruhy nejsou jen teoretické – jsou běžné v inženýrství, architektuře, designu i přírodě. Od tvaru starověkých římských oblouků po průřezy tunelů je efektivita a pevnost polokruhu široce využívána. V matematice jsou polokruhy základní pro věty o vepsaných úhlech a pro konstrukci pravých úhlů pomocí kružítka a pravítka.

V analytické geometrii je polokruh se středem v bodě (h, k) a poloměrem r definován rovnicí:
[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ] s podmínkou y ≥ k (horní polokruh) nebo y ≤ k (dolní polokruh).

Vlastnosti polokruhu

• Symetrie: Polokruhy jsou souměrné podle svého průměru. Každý bod na jedné straně průměru má svůj obraz na druhé straně.
• Není mnohoúhelník: Protože část jeho obvodu je zakřivená, polokruh není mnohoúhelník, ale je to jednoduchá uzavřená křivka.
• Obsah a obvod: Obsah je přesně polovina obsahu celého kruhu. Obvod je součet oblouku a průměru.
• Vepsané úhly: Každý úhel vepsaný do polokruhu je vždy pravý (Thaletova věta).
• Středové vlastnosti: Střed, poloměr a průměr odpovídají mateřskému kruhu.

Tyto vlastnosti jsou základem pro konstrukce, výpočty v průmyslu, stavebnictví a navigaci.

Polokruh v geometrii: definice a rovnice

Pro kruh se středem v počátku (0,0) a poloměrem r:

• Celý kruh: (x^2 + y^2 = r^2)
• Horní polokruh: (y = +\sqrt{r^2 - x^2}), pro (-r \leq x \leq r)
• Dolní polokruh: (y = -\sqrt{r^2 - x^2}), pro (-r \leq x \leq r)

Pro střed v bodě (h, k):
((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2), s y ≥ k nebo y ≤ k.

V trigonometrie je jednotkový polokruh (poloměr = 1) zásadní pro definici sinu a kosinu mezi 0 a π radiány.

Obsah polokruhu

Obsah (S) polokruhu s poloměrem r: [ S = \frac{1}{2} \pi r^2 ]

Při použití průměru d: [ S = \frac{1}{8} \pi d^2 ]

Tento vzorec je zásadní ve stavebnictví, kde obsah určuje potřebu materiálu, a ve fyzice pro výpočty průřezů.

Obvod (obvodová délka) polokruhu

Obvod (O) je součet oblouku a průměru: [ O = \pi r + 2r ] nebo v závislosti na průměru d: [ O = \frac{\pi d}{2} + d ]

Samotná délka oblouku (bez průměru) je πr.

Řešené příklady

Příklad 1: Obsah (poloměr 7 cm)
Obsah = (1/2) × π × 7² = (1/2) × (22/7) × 49 = 77 cm²

Příklad 2: Obvod (průměr 14 m)
Poloměr r = 7 m
Obvod = (22/7) × 7 + 2 × 7 = 22 + 14 = 36 m

Příklad 3: Délka oblouku (poloměr 5 in)
Oblouk = π × 5 = 15,71 in

Příklad 4: Dort (průměr 12 cm)
Poloměr = 6 cm
Obsah = (1/2) × 3,14 × 36 = 56,52 cm²

Procvičovací úlohy

1. Polokruh basketbalového hřiště (poloměr 7 ft, π=22/7):
   Obvod = (22/7) × 7 + 14 = 36 ft

2. Obsah (průměr 10 cm, π=3,14):
   Poloměr = 5 cm
   Obsah = (1/2) × 3,14 × 25 = 39,25 cm²

3. Obvod je 44 jednotek (π=22/7), najděte r:
   ( r = 44 / [(22/7) + 2] ≈ 8,56 ) jednotek

4. Tunel (poloměr 4 m):
   Oblouk = 3,142 × 4 = 12,568 m

Reálné využití

• Architektura: Římské oblouky, kupole a tunely využívají polokruhové průřezy pro pevnost i estetiku.
• Sport: Basketbalová a fotbalová hřiště mají polokruhové značky pro hru.
• Inženýrství: Polokruhové průřezy optimalizují rozložení zatížení i spotřebu materiálu.
• Letectví: Polokruhová pravidla a vzory držení zajišťují bezpečnost letového provozu.
• Vzdělávání a design: Kružítka, umění i digitální rozhraní často využívají polokruhové tvary.

Pokročilé matematické koncepty

• Trigonometrie: Jednotkový polokruh je základem pro sinus a kosinus od 0 do π.
• Pravděpodobnost: Polokruhové rozdělení se objevuje v teorii náhodných matic.
• Fyzika/Inženýrství: Polokruhové kanály a desky se analyzují pro proudění vzduchu, napětí a moment setrvačnosti.

Přehledová tabulka vzorců

Polokruh v letectví (význam ICAO)

V letectví polokruhové pravidlo přiřazuje letadlům hladiny podle magnetického směru: tratě 000°–179° mají liché tisíce, 180°–359° sudé tisíce. Toto využívá rozdělení 180° polokruhu pro bezpečné vertikální oddělení, jak specifikuje ICAO Doc 4444.

Polokruhové vzory držení také organizují tok letadel na letištích, polokruhové oblouky vedou letadla předvídatelně a bezpečně. Orientační kruhy a letištní terminály často využívají polokruhový design pro přehlednost a efektivitu.

Věda, technologie a kultura

Polokruhy jsou důležité v:

• Optika: Demonstrují lom a kritické úhly.
• Akustika: Používají se v odražečích zvuku a návrhu sálů.
• Elektronika: Analýza proudu v polokruhových vodičích.
• Kultura a symbolika: Vyjadřují otevřenost, přechod a pohyb v umění, architektuře a ceremoniích.
• Digitální design: Polokruhové ukazatele postupu a prvky UI pro intuitivní rozhraní.

Klíčové poznatky

• Polokruh je polovina kruhu, definovaná průměrem a obloukem.
• Obsah: (\frac{1}{2} \pi r^2)
• Obvod: (\pi r + 2r)
• Vepsané úhly v polokruhu jsou vždy pravé (90°).
• Polokruhy jsou základní v geometrii, inženýrství, architektuře i letectví.

Pro detailnější využití a řešení na míru s využitím polokruhů ve vašem oboru kontaktujte nás nebo si domluvte ukázku .