Funciones Periódicas y Fase en Física

Funciones Periódicas

Definición de Función Periódica:
Una función periódica es aquella cuyos valores se repiten a intervalos regulares, conocidos como período. En términos matemáticos, para una función ( f(x) ), si existe una constante ( T ) tal que

[ f(x) = f(x + T) ]

para todo ( x ), entonces ( f(x) ) es periódica con período ( T ).

Ejemplos Físicos:
Las funciones periódicas describen innumerables fenómenos repetitivos:

• Oscilaciones: Sistemas masa-resorte, péndulos
• Ondas: Sonido, luz, agua
• Señales eléctricas: Corriente alterna (CA), ondas de radio
• Órbitas: Movimiento planetario

Tipos Comunes:

• Seno y Coseno: ( y = \sin(x) ), ( y = \cos(x) ) — oscilaciones suaves y naturales
• Ondas cuadradas, triangulares, diente de sierra: Utilizadas en electrónica y procesamiento de señales

Analogía:
Piensa en una rueda de la fortuna: cada asiento regresa a su altura original después de una vuelta, ilustrando el movimiento periódico.

Funciones Sinusoidales: La Ecuación General

Las funciones sinusoidales son las funciones periódicas más fundamentales en física.

[ y = A \sin(B(x + C)) + D ] o, respecto al tiempo, [ y = A \sin(\omega t + \varphi) + D ]

• A: Amplitud (altura)
• B: Afecta el período
• C: Desplazamiento de fase
• D: Desplazamiento vertical
• (\omega): Frecuencia angular (( 2\pi f ))
• (\varphi): Ángulo de fase

Dónde se usan:

• Física: Osciladores masa-resorte, movimiento de péndulos, ondas electromagnéticas
• Ingeniería: Voltaje de CA, modulación de señales
• Aviación: Señales de radionavegación (VOR, ILS), pulsos de radar

Amplitud

Definición:
Amplitud (( |A| )) es el desplazamiento máximo desde la posición central.

[ \text{Amplitud} = |A| = \frac{\text{Máx} - \text{Mín}}{2} ]

Significado físico:

• Sonido: Volumen (intensidad)
• Luz: Brillo (energía)
• Sistemas mecánicos: Desplazamiento máximo de un objeto

Tabla: Amplitud en Diferentes Sistemas

Período

Definición:
Período (( T )) es el tiempo (o distancia) de un ciclo completo.

[ T = \frac{2\pi}{|B|} ]

Ejemplos físicos:

• Rotación de la Tierra: 1 día
• Latidos del corazón: 1 latido por segundo (aprox.)
• Energía eléctrica CA: 1/60 s (EEUU), 1/50 s (Europa)

Relación con la Frecuencia:
El período y la frecuencia son inversos: [ f = \frac{1}{T} ]

Frecuencia

Definición:
Frecuencia (( f )) es el número de ciclos por unidad de tiempo (en Hz).

[ f = \frac{1}{T} ]

Contextos físicos:

• Sonido: Tono (ej., Do central ≈ 261,6 Hz)
• Luz: Color (frecuencia en THz)
• Aviación: Comunicación VHF (118–137 MHz)

Frecuencia Angular

Definición:
Frecuencia angular (( \omega )) es la frecuencia expresada en radianes por segundo.

[ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} ]

Uso físico:
La frecuencia angular es vital en:

• Movimiento circular: Ruedas, maquinaria rotativa
• Oscilaciones: Expresar ciclos en unidades angulares
• Análisis de señales: Modulación, demodulación

Fase, Desplazamiento de Fase y Ángulo de Fase

Fase

Definición:
Fase describe la posición dentro de un ciclo en un instante dado, usualmente como un ángulo (radianes o grados).

[ \text{Fase instantánea} = \omega t + \varphi ]

• ( \omega t ): Progresión en el tiempo
• ( \varphi ): Ángulo de fase inicial

Importancia:

• Determina el punto de partida y la dirección del movimiento
• Central para la interferencia (constructiva/destructiva)

Aplicaciones:

• Navegación aérea: Los sistemas VOR y DME usan la fase para el cálculo de posición
• Comunicaciones: La fase se usa en modulación/demodulación

Desplazamiento de Fase

Definición:
Desplazamiento de fase es la traslación horizontal de una onda a lo largo de su eje.

Para ( y = A\sin(Bx + \phi) ): [ \text{Desplazamiento de fase} = -\frac{\phi}{B} ]

• Desplazamiento de fase positivo: Se mueve a la izquierda
• Desplazamiento de fase negativo: Se mueve a la derecha

Ejemplo físico:

• Diapasones: Dos con la misma frecuencia, golpeados en tiempos diferentes, están “fuera de fase.”
• ILS (Sistema de Aterrizaje Instrumental): El desplazamiento de fase se usa en las señales de guiado de aeronaves

Ángulo de Fase

Definición:
Ángulo de fase (( \varphi )) es la fase en ( t = 0 ).

En ( y = A\sin(\omega t + \varphi) ), ( \varphi ) determina la posición inicial.

Ejemplo físico:

• Sistemas DME: El ángulo de fase ayuda a determinar el retardo temporal y, por tanto, la distancia.

Desplazamiento Vertical

Definición:
Desplazamiento vertical (( D )) mueve la onda hacia arriba o abajo en el gráfico.

[ \text{Desplazamiento vertical} = D ] o [ \text{Desplazamiento vertical} = \frac{\text{Máx} + \text{Mín}}{2} ]

Uso físico:

• Sistema masa-resorte: Una fuerza constante cambia la posición de equilibrio
• Señal eléctrica: Desplazamiento DC

Visualizando la Fase: Posición en el Ciclo

Imagina un punto moviéndose a velocidad constante alrededor de un círculo:

• La proyección sobre una línea forma una onda seno
• El ángulo (( \theta )) representa la fase

[ \text{Fase} = \omega t + \varphi ]

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Extracción de Parámetros

Dado: ( y = 3\sin(2(x + 1)) - 4 )

• Amplitud: ( |3| = 3 )
• Período: ( \frac{2\pi}{2} = \pi )
• Desplazamiento de fase: ( -1 ) (izquierda)
• Desplazamiento vertical: ( -4 )

Ejemplo 2: A partir de un Gráfico

Dado:

• Picos en ( y = 2.5 ), valles en ( y = -0.5 )
• Picos en ( t = 0 ) y ( t = 2 )
• Cruza la línea media hacia arriba en ( t = 0.25 )

Buscar:

• Amplitud: ( (2.5 - (-0.5))/2 = 1.5 )
• Desplazamiento vertical: ( (2.5 + (-0.5))/2 = 1 )
• Período: ( 2 )
• Frecuencia: ( 1/2 = 0.5 ) Hz
• Frecuencia angular: ( \omega = \pi ) rad/s
• Desplazamiento de fase: ( 0.25 ) (derecha)

Ecuación:
[ y = 1.5\sin(\pi (t - 0.25)) + 1 ]

Resumen

Las funciones periódicas y sus parámetros—amplitud, período, frecuencia, frecuencia angular, fase, desplazamiento de fase y desplazamiento vertical—forman la base matemática y conceptual para analizar oscilaciones y ondas en física e ingeniería. Comprender cómo cada parámetro afecta el comportamiento de un sistema es esencial para campos que van desde la acústica hasta la navegación y comunicaciones aeronáuticas. Dominar estos conceptos permite controlar, sincronizar y analizar con precisión fenómenos cíclicos del mundo real.