Glossaire de l’angle solide — Référence détaillée pour l’aviation, la physique et l’ingénierie

Angle solide (Ω)

Un angle solide est une grandeur géométrique qui mesure la taille apparente d’une surface pour un observateur en un point donné, prolongeant le concept d’angle plan dans l’espace tridimensionnel. Formellement, il est défini comme l’aire qu’une surface donnée projette sur une sphère unité centrée sur l’observateur (l’apex). L’unité SI de l’angle solide est le stéradian (sr), et l’angle solide total autour d’un point (enveloppant une sphère complète) est de (4\pi) stéradians.

Mathématiquement, pour une surface (S) et un apex (O), si (A) est l’aire de la projection sur une sphère de rayon (r), l’angle solide est : [ \Omega = \frac{A}{r^2} ] Pour la sphère unité ((r = 1)), Ω est simplement l’aire projetée.

Les angles solides sont essentiels pour quantifier le champ de vision (FOV) des capteurs, la couverture des radars et antennes de communication, la taille apparente des objets célestes et la distribution de l’énergie radiante ou lumineuse. En aviation et en ingénierie, la compréhension des angles solides est fondamentale pour le placement des capteurs, la conception d’antennes, les calculs radiométriques et l’analyse des performances des systèmes.

Stéradian (sr)

Le stéradian est l’unité SI de mesure des angles solides. Un stéradian est défini comme l’angle solide sous-tendu au centre d’une sphère par une surface dont l’aire est égale au carré du rayon de la sphère. Pour une sphère de rayon (r), un angle solide de 1 sr sous-tend une aire de (r^2).

L’angle solide total autour d’un point (sphère complète) est : [ 4\pi \text{ sr} \approx 12,566 \text{ sr} ] Les stéradians constituent une unité standardisée, sans dimension (mais nommée), essentielle pour exprimer des grandeurs telles que l’intensité lumineuse (candela), l’intensité radiante (W/sr) et la directivité des antennes de façon claire et conforme au SI.

Sous-tendre

Sous-tendre signifie qu’une surface ou une courbe, vue d’un point donné (l’apex), « couvre » un certain angle ou angle solide. En termes d’angle solide, une surface sous-tend un angle solide en un point si, depuis ce point, les droites joignant tous les points de la surface définissent une région conique dont l’intersection avec la sphère unité forme une portion d’aire égale à l’angle solide.

La notion de sous-tension est cruciale pour quantifier le FOV des capteurs, la couverture radar et la taille apparente des objets en aviation, astronomie et optique.

Apex

L’apex est le point à partir duquel on mesure un angle solide — typiquement la position de l’observateur, du capteur ou de l’antenne. Tous les rayons ou droites définissant l’angle solide partent de ce point. En pratique, l’apex est le centre de la sphère (notionnelle ou physique) pour la mesure de l’angle solide.

Sphère unité

La sphère unité est une sphère de rayon 1 centrée sur l’apex. Pour toute surface, sa projection sur la sphère unité définit l’angle solide en stéradians. Tous les calculs d’angle solide sont standardisés à l’aide de la sphère unité, ce qui simplifie la détermination de l’angle solide à une mesure d’aire.

Les sphères unités sont largement utilisées dans l’analyse des diagrammes d’antenne, la simulation de l’éclairage et la modélisation géométrique du FOV des capteurs.

Angle solide différentiel (dΩ)

L’angle solide différentiel ((d\Omega)) est un élément infinitésimal d’angle solide, fondamental pour l’intégration sur l’espace angulaire. En coordonnées sphériques : [ d\Omega = \sin\theta , d\theta , d\phi ] où (\theta) est l’angle polaire (colatitude) et (\phi) l’angle azimutal. Les angles solides différentiels permettent de calculer les angles solides totaux ou partiels par intégration, essentiel en radiométrie, théorie des antennes et optique physique.

Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques ((r, \theta, \phi)) sont un système naturel pour décrire des positions et directions dans l’espace tridimensionnel, en particulier pour les calculs d’angle solide.

L’élément d’aire sur la sphère unité est (dA = \sin\theta , d\theta , d\phi = d\Omega).

Angle plan (radian)

Un angle plan mesure l’ouverture entre deux droites dans un plan et s’exprime en radians (rad), défini comme le rapport de la longueur de l’arc au rayon ((\theta = s/r)). De même que le radian est l’unité naturelle pour les angles plans, le stéradian l’est pour les angles solides.

Théorème de l’excès sphérique

Le théorème de l’excès sphérique fournit une méthode pour calculer l’angle solide sous-tendu par un polygone sphérique (par exemple, un triangle) sur la sphère unité. Pour un triangle sphérique d’angles intérieurs (\alpha, \beta, \gamma) : [ \Omega = (\alpha + \beta + \gamma) - \pi ] Pour un polygone sphérique à (n) côtés : [ \Omega = (\text{Somme des angles intérieurs}) - (n-2)\pi ] Ce théorème est utilisé en géodésie, analyse de la trace au sol des satellites et calculs de couverture radar.

Champ de vision (FOV)

Le champ de vision (FOV) est la région angulaire de l’espace observable depuis un point ou par un capteur, une caméra ou une antenne. Il se quantifie par l’angle solide (en stéradians) que le système peut « voir ». En aviation, le FOV détermine la couverture spatiale des capteurs, caméras et radars, impactant les capacités de détection et la conscience de la situation.

Une caméra avec un FOV conique d’angle au sommet (\alpha) sous-tend un angle solide : [ \Omega = 2\pi(1 - \cos\alpha) ]

Intensité radiante (I)

L’intensité radiante est la puissance rayonnée par une source par unité d’angle solide, exprimée en watts par stéradian (W/sr). Elle décrit l’émission directionnelle d’énergie, cruciale en radiométrie, éclairage et communication.

[ I = \frac{d\Phi}{d\Omega} ] où (d\Phi) est le flux radiant et (d\Omega) l’angle solide.

Intensité lumineuse (candela, cd)

L’intensité lumineuse est la puissance perçue de la lumière visible émise par une source dans une direction donnée, par unité d’angle solide, exprimée en candelas (cd). Une candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source émettant 1/683 watt par stéradian à 540 THz (lumière verte).

L’intensité lumineuse est la grandeur principale pour spécifier l’éclairage en aviation, les aides à la navigation et les affichages cockpit.

Directivité d’antenne

La directivité d’antenne quantifie la concentration du rayonnement d’une antenne dans une direction donnée par rapport à un radiateur isotrope. Elle est donnée par :

[ D = \frac{U_{max}}{U_{avg}} = \frac{4\pi U_{max}}{P_{tot}} ]

où (U_{max}) est l’intensité maximale du rayonnement et (P_{tot}) la puissance totale rayonnée. La directivité est inversement proportionnelle à l’angle solide ((\Omega_A)) sur lequel l’antenne rayonne la majeure partie de son énergie : [ D \approx \frac{4\pi}{\Omega_A} ] Une directivité plus élevée signifie un faisceau plus étroit et un angle solide plus petit.

Angle solide d’une face de cube

L’angle solide sous-tendu par une face de cube au centre du cube est un résultat géométrique classique. Chaque face d’un cube (côté (2a)), centré à l’origine, sous-tend : [ \Omega_{face} = \frac{2\pi}{3} \text{ sr} ] Ce résultat s’obtient par intégration sur la face et projection sur la sphère unité.

Applications en aviation, physique et ingénierie

Les angles solides sous-tendent les calculs de champ de vision des capteurs, l’analyse de la section efficace radar, la détermination de la largeur de faisceau des antennes et la modélisation du transfert radiatif. En aviation, un calcul précis de l’angle solide permet d’assurer que les capteurs et antennes offrent la couverture et la performance de détection requises, facilite l’étalonnage radiométrique et permet la conception sûre et efficace des systèmes. En physique et en ingénierie, les angles solides sont indispensables à la radiation, à l’éclairage et aux processus de mesure.