Szeradián – A térszög SI mértékegysége

A szeradián (jele: sr) a Nemzetközi Mértékegységrendszer (SI) származtatott egysége a térszögek mennyiségi meghatározásához háromdimenziós térben. Ahogyan a radián a síkszögeket méri a kétdimenziós geometriában, a szeradián azt az “szögnagyságot” méri, amelyet egy felület metsz ki egy gömb középpontjából nézve. Ez az egység alapvető a radiometriában, fotometriában, antennaelméletben és csillagászatban – mindenhol, ahol egy objektum vagy kibocsátás térbeli kiterjedése egy ponthoz viszonyítva számít.

Matematikai definíció

A térszög egy objektum látszólagos méretét adja meg egy pontból nézve, a síkszög 3D-s általánosítása. A szeradián úgy van definiálva, hogy egy szeradián az a térszög, amely egy gömb középpontjából nézve a gömb sugarának négyzetével egyenlő felületet metsz ki:

[ \Omega = \frac{A}{r^2} ]

• ( \Omega ): térszög szeradiánban (sr)
• ( A ): terület a gömb felszínén (m²)
• ( r ): a gömb sugara (m)

Fontos tények:

• A teljes térszög egy pont körül (teljes gömb): ( 4\pi ) sr (≈ 12,57 sr)
• Egy szeradián a gömb felszínének kb. 8%-át “látja”.

Szeradián vs. radián

A radián egy sugarával egyenlő ívet metsz ki; a szeradián egy sugár négyzetével egyenlő területet.

Gyakorlati alkalmazások

• Radiometria és fotometria: Az energia vagy a fény szögeloszlásának mérése. A fényerősség (kandela) definíciója: lumen/szeradián.
• Antennaelmélet: Az irányítottságot és a lefedettséget írja le; nagyobb irányítottság kisebb térszöggel jár.
• Csillagászat: Az égitestek látszólagos méretét és a látómezőt méri.
• Számítógépes grafika: Fénytranszport-számításokhoz használják a valósághű megjelenítéshez.
• Légiközlekedés/légköri tudományok: Szenzorok és radarok lefedettségének meghatározása, ICAO szabványok szerint.

Példa számítás

Egy 0,0025 m² területű detektor 2 m-re van egy fényforrástól. A kitakart térszög:

[ \Omega = \frac{0.0025}{2^2} = 0.000625\ \text{sr} ]

Ha a detektor 0,1 W-ot érzékel, a sugárzási intenzitás ( 0.1 / 0.000625 = 160 ) W/sr.

Átváltás és hivatkozás

• 1 szeradián ≈ 3282,8 négyzetfok
• Teljes égbolt (gömb): ≈ 41 253 négyzetfok
• A Hold látszólagos térszöge: ≈ ( 6,4 \times 10^{-5} ) sr

Haladó matematikai megfogalmazás

Gömbi koordinátákban a térszögelem:

[ d\Omega = \sin\theta, d\theta, d\phi ]

• ( \theta ): poláris szög (kolatitudó)
• ( \phi ): azimutális szög (hosszúság)

Az egész gömbre integrálva:

[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin\theta, d\theta, d\phi = 4\pi\ \text{sr} ]

Szeradián a szabványokban és jelölésekben

• SI jele: sr
• UNECE kód: D27
• UCUM kód: sr
• IEC 61360: 0112/2///62720#UAA986

A szeradiánt technikai környezetben mindig “sr”-ként írják, hogy megkülönböztesse más dimenzió nélküli számoktól.

Gyors áttekintő táblázat

ICAO és nemzetközi szabványok

A szeradián az ICAO és más nemzetközi szabványokban is szerepel a légi közlekedés, műholdas és szenzorrendszerek számára – biztosítva a radarok, navigációs segédeszközök és távérzékelés szögletes lefedettségének egységes meghatározását. Alapvető a kompatibilitás, az adatok pontossága és a biztonság szempontjából.

Vizualizációk

Egy gömb felszíne ( 4\pi r^2 ); egy teljes gömb ( 4\pi ) szeradiánt metsz ki.

Összefoglalás

A szeradián a térszögek alapvető SI mértékegysége, amely szigorú, szabványosított mértéket ad a 3D szögletes lefedettséghez a tudományban, mérnöki munkában és technológiában. Dimenzió nélküli, univerzálisan elismert, és mindenhol használják, ahol egy felület vagy kibocsátás térbeli “szórását” egy pontból számszerűsíteni kell.

Ha munkája térbeli méréseket, szenzorokat vagy 3D modellezést foglal magában, a szeradián ismerete elengedhetetlen a pontos és következetes eredményekhez.