Slovníček prostorových úhlů — Podrobný přehled pro letectví, fyziku a inženýrství

Prostorový úhel (Ω)

Prostorový úhel je geometrická veličina, která měří, jak velký se povrch jeví pozorovateli v určitém bodě, a rozšiřuje tak pojem rovinného úhlu do tří rozměrů. Formálně je definován jako plocha, kterou daný povrch vrhá na jednotkovou sféru se středem v místě pozorovatele (vrcholu). SI jednotkou prostorového úhlu je steradián (sr) a celkový prostorový úhel kolem bodu (celá sféra) je (4\pi) steradiánů.

Matematicky pro povrch (S) a vrchol (O), je-li (A) plocha projekce na sféru o poloměru (r), prostorový úhel je: [ \Omega = \frac{A}{r^2} ] Pro jednotkovou sféru ((r = 1)) je Ω jednoduše plocha projekce.

Prostorové úhly jsou zásadní pro kvantifikaci zorného pole (FOV) senzorů, pokrytí radarových a komunikačních antén, zdánlivé velikosti nebeských těles i rozložení zářivé nebo světelné energie. V letectví a inženýrství je znalost prostorových úhlů základ pro umístění senzorů, návrh antén, radiometrické výpočty a analýzu výkonu systémů.

Steradián (sr)

Steradián je SI jednotka pro měření prostorových úhlů. Jeden steradián je definován jako prostorový úhel, který ve středu sféry svírá plocha rovna druhé mocnině poloměru sféry. Pro sféru o poloměru (r) svírá prostorový úhel 1 sr plochu (r^2).

Celkový prostorový úhel kolem bodu (celá sféra) je: [ 4\pi \text{ sr} \approx 12{,}566 \text{ sr} ] Steradiány poskytují standardizovanou, bezrozměrnou (ale pojmenovanou) jednotku, která je klíčová pro vyjadřování veličin, jako je svítivost (kandela), zářivá intenzita (W/sr) či směrovost antén v souladu se soustavou SI.

Svírat

Svírat znamená, že povrch nebo křivka, viděná z určitého bodu (vrcholu), ‘zabírá’ určitý úhel nebo prostorový úhel. V kontextu prostorových úhlů povrch svírá prostorový úhel v bodě tehdy, když z tohoto bodu vedené přímky ke všem bodům povrchu vymezují kuželový prostor, jehož průnik s jednotkovou sférickou plochou tvoří plošku rovnou prostorovému úhlu.

Svírání je zásadní pro kvantifikaci zorného pole senzorů, radarového pokrytí a zdánlivé velikosti objektů v letectví, astronomii a optice.

Vrchol (Apex)

Vrchol je bod, ze kterého se měří prostorový úhel – obvykle místo pozorovatele, senzoru nebo antény. Všechny paprsky nebo přímky vymezující prostorový úhel vycházejí z tohoto bodu. V praxi je vrchol středem myšlené nebo skutečné sféry pro měření prostorového úhlu.

Jednotková sféra

Jednotková sféra je sféra o poloměru 1 se středem ve vrcholu. Každý povrch promítnutý na jednotkovou sféru určuje prostorový úhel ve steradiánech. Všechny výpočty prostorových úhlů jsou standardizovány pomocí jednotkové sféry, což zjednodušuje stanovení prostorového úhlu na plošné měření.

Jednotkové sféry jsou široce používány při analýze směrových charakteristik antén, simulaci osvětlení a geometrickém modelování zorných polí senzorů.

Diferenciální prostorový úhel (dΩ)

Diferenciální prostorový úhel ((d\Omega)) je nekonečně malý element prostorového úhlu, základní pro integraci přes úhlový prostor. Ve sférických souřadnicích: [ d\Omega = \sin\theta , d\theta , d\phi ] kde (\theta) je polární úhel (kolatitude) a (\phi) je azimutální úhel. Diferenciální prostorové úhly umožňují výpočet celkových nebo dílčích prostorových úhlů integrací, což je nezbytné v radiometrii, teorii antén a fyzikální optice.

Sférické souřadnice

Sférické souřadnice ((r, \theta, \phi)) jsou přirozenou soustavou pro popis poloh a směrů ve třírozměrném prostoru, zvláště při výpočtech prostorových úhlů.

Plošný element na jednotkové sféře je (dA = \sin\theta , d\theta , d\phi = d\Omega).

Rovinný úhel (radián)

Rovinný úhel měří otevření mezi dvěma přímkami v rovině a je udáván v radiánech (rad), definovaných jako poměr délky oblouku ku poloměru ((\theta = s/r)). Stejně jako jsou radiány přirozenou jednotkou pro rovinné úhly, jsou steradiány pro prostorové úhly.

Sférická nadbytečnost (Spherical Excess Theorem)

Věta o sférické nadbytečnosti poskytuje způsob výpočtu prostorového úhlu svíraného sférickým mnohoúhelníkem (např. trojúhelníkem) na jednotkové sféře. Pro sférický trojúhelník s vnitřními úhly (\alpha, \beta, \gamma): [ \Omega = (\alpha + \beta + \gamma) - \pi ] Pro sférický mnohoúhelník s (n) stranami: [ \Omega = (\text{Součet vnitřních úhlů}) - (n-2)\pi ] Tato věta se využívá v geodézii, analýze pozemních stop družic a výpočtech radarového pokrytí.

Zorné pole (FOV)

Zorné pole (FOV) je úhlová oblast prostoru pozorovatelná z určitého bodu nebo senzorem, kamerou či anténou. Kvantifikuje se prostorovým úhlem (ve steradiánech), který je systém schopen ‘vidět’. V letectví FOV určuje prostorové pokrytí senzorů, kamer a radarů, což ovlivňuje detekční schopnosti a situační povědomí.

Kamera s kuželovým zorným polem s polovičním úhlem (\alpha) svírá prostorový úhel: [ \Omega = 2\pi(1 - \cos\alpha) ]

Zářivá intenzita (I)

Zářivá intenzita je zářivý výkon vyzařovaný zdrojem do jednotkového prostorového úhlu, měřený ve wattech na steradián (W/sr). Popisuje směrové vyzařování energie, což je zásadní v radiometrii, osvětlení a komunikaci.

[ I = \frac{d\Phi}{d\Omega} ] kde (d\Phi) je zářivý tok a (d\Omega) prostorový úhel.

Svítivost (kandela, cd)

Svítivost je vnímaná energie viditelného světla ze zdroje v určitém směru na jednotkový prostorový úhel, měřená v kandelách (cd). Jedna kandela je svítivost ve stanoveném směru zdroje, který vyzařuje 1/683 wattu na steradián při 540 THz (zelené světlo).

Svítivost je základní veličinou při specifikaci leteckého osvětlení, navigačních pomůcek a palubních displejů.

Směrovost antény

Směrovost antény kvantifikuje, jak koncentrovaně anténa vyzařuje energii v daném směru ve srovnání s izotropním zářičem. Je dána:

[ D = \frac{U_{max}}{U_{avg}} = \frac{4\pi U_{max}}{P_{tot}} ]

kde (U_{max}) je maximální hustota vyzařování a (P_{tot}) je celkový vyzářený výkon. Směrovost je nepřímo úměrná prostorovému úhlu ((\Omega_A)), do kterého anténa vyzařuje většinu své energie: [ D \approx \frac{4\pi}{\Omega_A} ] Vyšší směrovost znamená užší svazek a menší prostorový úhel.

Prostorový úhel stěny krychle

Prostorový úhel svíraný stěnou krychle v jejím středu je klasický geometrický výsledek. Každá stěna krychle (o straně (2a)), jejíž střed je v počátku, svírá: [ \Omega_{face} = \frac{2\pi}{3} \text{ sr} ] To se zjistí integrací přes stěnu a projekcí na jednotkovou sféru.

Využití v letectví, fyzice a inženýrství

Prostorové úhly jsou základem výpočtů zorných polí senzorů, analýzy radarového průřezu, stanovení šířky svazku antény a modelování šíření záření. V letectví přesný výpočet prostorového úhlu zajišťuje, že senzory a antény poskytují požadované pokrytí a detekční schopnosti, podporuje radiometrickou kalibraci a umožňuje bezpečný, efektivní návrh systémů. Ve fyzice a inženýrství jsou prostorové úhly nedílnou součástí záření, osvětlení a měřicích procesů.