Écart — Différence par rapport à la valeur attendue (Statistiques)

Introduction

L’écart est un concept central en statistiques et en probabilité, représentant la différence entre une valeur observée et la valeur attendue (moyenne) d’une variable aléatoire. Qu’il s’agisse d’analyser des erreurs de mesure, d’évaluer le risque ou de surveiller la qualité, l’écart constitue l’étape fondamentale pour comprendre à quel point une valeur est typique ou inhabituelle. Ce concept est largement utilisé dans des domaines tels que l’ingénierie, l’aviation, la finance et la science des données pour des tâches allant du contrôle de processus à la prévision et à l’analyse de la fiabilité.

Comprendre la valeur attendue (Moyenne)

La valeur attendue (ou moyenne, notée ( \mu )) est la moyenne théorique à long terme d’une variable aléatoire. Pour les variables discrètes, elle se calcule ainsi :

[ E(X) = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) ]

où ( x_i ) sont les valeurs possibles et ( P(x_i) ) leurs probabilités. Pour les distributions continues, on utilise l’intégration au lieu de la sommation. La valeur attendue agit comme le “centre de gravité” de la distribution—si les probabilités étaient des poids physiques sur une droite numérique, la moyenne serait le point d’équilibre.

Calcul de l’écart

L’écart pour une observation particulière ( x ) est :

[ \text{Écart} = x - \mu ]

• Écart positif : ( x > \mu ) (au-dessus de la moyenne)
• Écart négatif : ( x < \mu ) (en dessous de la moyenne)
• Écart nul : ( x = \mu ) (égal à la moyenne)

Les écarts constituent la base de nombreuses mesures statistiques, dont la variance et l’écart type. En pratique, ils aident à identifier les points de données inhabituels (valeurs aberrantes) et à caractériser la dispersion d’un ensemble de données.

Propriétés des écarts

• La somme des écarts par rapport à la moyenne pour une population complète est toujours nulle :

  [ \sum (x - \mu) = 0 ]

• La variance et l’écart type mesurent l’amplitude des écarts, sans tenir compte de leur direction (puisque les valeurs sont élevées au carré ou rendues positives).

• L’écart type est toujours positif ou nul.

• En cas d’issues équiprobables, l’écart se mesure par rapport à la moyenne arithmétique.

Variance et écart type

Variance (( \sigma^2 ))

La variance quantifie la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

[ \sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(x_i) ]

L’élévation au carré évite que les écarts positifs et négatifs ne s’annulent, et met l’accent sur les écarts importants.

Écart type (( \sigma ))

L’écart type est la racine carrée de la variance :

[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} ]

Il revient dans les unités de mesure d’origine, ce qui facilite l’interprétation. Un faible écart type signifie que les données sont très regroupées ; un écart type élevé indique une plus grande dispersion.

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres stipule qu’à mesure que le nombre d’essais augmente, la moyenne d’échantillon converge vers la valeur attendue. Cela fonde la fiabilité de l’inférence statistique et justifie l’utilisation de la valeur attendue comme mesure centrale dans de grands échantillons.

[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu ]

Probabilité théorique vs expérimentale

• Probabilité théorique : Basée sur des modèles mathématiques.
• Probabilité expérimentale : Basée sur les fréquences observées.

Les écarts entre les deux diminuent à mesure que davantage de données sont collectées, grâce à la loi des grands nombres. Ce processus permet de valider les modèles et de révéler la variabilité réelle.

Écart en pratique

L’écart est utilisé dans de nombreuses applications concrètes :

Contrôle qualité

Les écarts par rapport aux valeurs attendues en production révèlent la variabilité et peuvent mettre en évidence des problèmes systémiques. Les cartes de contrôle statistique des processus utilisent les écarts pour détecter des dérives ou des tendances, assurant la fiabilité des produits.

Évaluation des risques (Finance, Ingénierie)

La variance et l’écart type des rendements quantifient la volatilité d’un investissement. Un écart type élevé signale un risque élevé, tandis que des valeurs faibles indiquent une stabilité.

Aviation & Ingénierie

L’écart est crucial dans l’analyse de la fiabilité. Par exemple, les écarts par rapport à la durée de vie attendue des pièces permettent de planifier la maintenance et de garantir la sécurité.

Analyse d’enquêtes

Identifier les écarts à la moyenne des réponses met en évidence la diversité des expériences et cible les axes d’amélioration.

Jeux de hasard

L’écart, la variance et l’écart type servent à déterminer les risques et les résultats attendus dans les scénarios de jeu.

Exemple détaillé : Jours joués par une équipe de football

Problème : Une équipe de football joue 0, 1 ou 2 jours par semaine avec les probabilités suivantes :

Étape 1 : Valeur attendue

[ \mu = (0 \times 0,2) + (1 \times 0,5) + (2 \times 0,3) = 1,1 ]

Étape 2 : Écarts

Étape 3 : Écarts au carré

Étape 4 : Écarts au carré pondérés

Variance : ( 0,49 )
Écart type : ( 0,7 )

Interprétation : L’écart hebdomadaire typique par rapport au nombre moyen de jours joués est d’environ 0,7 jour.

Exemple réel : Les pleurs du nouveau-né réveillent la mère

Une enquête auprès de 50 mères relève le nombre de fois par semaine où leur nouveau-né les réveille après minuit :

• Valeur attendue : ( \mu = 2,1 )
• Variance : ( 1,05 )
• Écart type : ( 1,02 )

Interprétation : La plupart des mères sont réveillées en moyenne environ 2,1 fois par semaine, avec une variation individuelle d’environ 1 fois.

Problème d’application : Appels infirmiers à l’hôpital

Un chercheur interroge des patients postopératoires sur les appels infirmiers lors d’une garde de 12 heures :

• Valeur attendue : ( \mu = 2,32 )
• Écart pour 3 appels : ( 0,68 )
• Variance : ( 1,4977 )
• Écart type : ( 1,224 )

Tableau des termes clés

Illustration visuelle

Figure : Visualisation de la moyenne, de l’écart et de l’écart type sur une distribution de probabilité.

Conclusion

L’écart est la mesure fondamentale de l’écart d’une observation individuelle par rapport à la valeur attendue. Il est essentiel pour le calcul de la variance et de l’écart type, ainsi que pour comprendre la dispersion, le risque et la qualité des données. Maîtriser l’écart et ses concepts associés permet de prendre des décisions éclairées en ingénierie, finance, contrôle qualité et science des données.

Voir aussi

• Variance
• Écart type
• Loi des grands nombres
• Valeur attendue
• Distributions de probabilité
• Contrôle statistique des processus

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