Qu’est-ce que la pseudo-distance ?

Définition

Une pseudo-distance est le temps de trajet du signal entre un satellite et un récepteur, multiplié par la vitesse de la lumière, avec l’erreur d’horloge du récepteur incluse. La norme de performance du GPS définit la mesure de pseudo-distance en deux étapes. Elle prend la différence entre l’instant de réception du code et l’instant d’émission du code. Elle multiplie ensuite cette différence par la vitesse de la lumière. L’horloge du récepteur fixe le premier instant. L’horloge du satellite fixe le second.

Une pseudo-distance ressemble à une distance et s’exprime dans l’unité d’une distance. Ce n’est pas la distance réelle. La norme appelle distance géométrique la distance réelle entre le satellite et le récepteur.

Comment un récepteur la mesure

Chaque satellite GPS émet un code pseudo-aléatoire connu. Le code C/A compte 1 023 puces et se transmet à 1,023 mégapuce par seconde. Le récepteur fait une copie de ce code. Il ajuste le retard de la copie jusqu’à ce qu’elle corresponde au code reçu. Cet ajustement est le temps de trajet du signal, lu sur l’horloge du récepteur (NASA, diapositives 35 à 37).

L’unité du code est la puce. Une puce mesure 293 m de long. La vitesse de la lumière divisée par le débit de puces donne cette longueur. Le calcul est 299 792 458 m/s divisé par 1 023 000 puces par seconde, soit 293,05 m. Le récepteur mesure le code à une petite fraction de puce près. Cela donne une pseudo-distance de l’ordre du mètre (NASA, diapositive 36).

Temps et distance

La vitesse de la lumière transforme un temps en distance. Elle fait le lien entre les deux :

• 1 microseconde correspond à 299,79 m de distance.
• 1 milliseconde correspond à 299,79 km de distance.
• 1 nanoseconde correspond à environ 0,3 m de distance.

Ce même lien montre l’effet d’une erreur d’horloge. Une horloge de récepteur décalée de 1 microseconde ajoute 299,79 m à chaque pseudo-distance. C’est pourquoi l’horloge du récepteur est une inconnue à résoudre.

Le temps de trajet d’un signal GPS est court. Prenez une Terre sphérique de rayon 6 378,137 km (le demi-grand axe du WGS 84). Prenez une orbite GPS circulaire de rayon 26 559,8 km (le demi-grand axe). Un satellite juste au-dessus est alors à environ 20 182 km, et le signal met environ 67 millisecondes. Un satellite à l’horizon est à environ 25 783 km, et le signal met environ 86 millisecondes. Ce sont des valeurs calculées et non des valeurs de la norme.

Pourquoi ce n’est pas une distance vraie

L’horloge du récepteur n’est pas réglée sur l’heure GPS. Le récepteur ne peut pas connaître son erreur d’horloge avant d’avoir une position. Chaque pseudo-distance contient donc la même erreur d’horloge, et c’est la raison principale du nom.

La mesure comprend les termes suivants (NASA, diapositive 38) :

• Distance vraie. La distance géométrique entre le satellite et le récepteur. La position du satellite est connue grâce aux données de navigation.
• Termes d’horloge. L’erreur d’horloge du satellite est connue grâce aux données de navigation. L’erreur d’horloge du récepteur est inconnue. Le symbole c est la vitesse de la lumière.
• Atmosphère. L’ionosphère et la troposphère ralentissent le signal.
• Autres erreurs. Il s’agit des erreurs des données d’orbite et d’horloge du satellite, du multi-trajet et du bruit du récepteur.

La norme GPS définit aussi une pseudo-distance corrigée. Le récepteur ramène la mesure brute à l’heure GPS grâce à la correction d’horloge du satellite issue des données de navigation. La norme appelle cela la mesure de distance du signal SPS.

Pseudo-distances et position

Chaque pseudo-distance place le récepteur sur une sphère centrée sur le satellite, et l’erreur d’horloge élargit chaque sphère du même montant. Le récepteur trouve le point et le décalage d’horloge qui s’accordent avec toutes les pseudo-distances. Il a quatre inconnues : trois coordonnées de position et le décalage d’horloge. Il lui faut des pseudo-distances d’au moins quatre satellites. Si l’altitude est connue, trois suffisent (SPS PS, solution PVT).

La trilatération est la méthode de base pour trouver un point à partir de distances à des points connus. Le positionnement GPS explique le calcul complet, la géométrie des satellites et la précision. Cette page couvre la mesure que ce calcul utilise.

Erreurs d’une pseudo-distance

La NASA donne un bilan d’erreurs type pour une mesure de code :

La norme de performance du GPS garantit une erreur de distance utilisateur (URE) dans l’espace du signal de 7,0 m à 95 %. Il s’agit d’une statistique globale sur toutes les durées de données (tableau 3.4-1). L’erreur de distance utilisateur est l’erreur des données d’orbite et d’horloge du satellite le long de la ligne de visée. Elle n’inclut pas l’atmosphère, le multi-trajet ni le bruit du récepteur.

La norme ajoute les erreurs du récepteur aux erreurs du signal. La racine carrée de la somme des carrés d’une erreur de signal de 9,7 m et d’une erreur de récepteur de 5,5 m vaut 11,2 m à 95 %. C’est l’erreur équivalente de distance utilisateur (UERE). L’erreur de position vaut environ l’UERE multipliée par l’affaiblissement de la précision (annexe B.2.1). Une bonne géométrie des satellites maintient ce multiplicateur bas. La page sur le HDOP explique la partie horizontale.

Le multi-trajet est une erreur liée au site du récepteur. Un signal qui se réfléchit sur un bâtiment ou le sol arrive en retard et déforme la mesure du code. Le NGS note que le multi-trajet crée un bruit de pseudo-distance qui limite l’estimation des ambiguïtés entières.

Pseudo-distance et phase porteuse

Un récepteur mesure aussi l’onde porteuse, en plus du code. La mesure de phase porteuse comporte les mêmes termes que la pseudo-distance, avec trois différences (NASA, diapositive 38) :

• Elle ajoute un nombre entier de cycles inconnu, appelé ambiguïté entière.
• Le retard ionosphérique a le signe opposé.
• Le bruit se mesure en millimètres et non en mètres.

Les deux mesures travaillent ensemble. Un récepteur utilise la pseudo-distance et la phase porteuse pour estimer les ambiguïtés entières. Cette étape seule peut donner des positions au niveau du sous-mètre (NGS, p. 14). La page phase porteuse couvre l’ambiguïté entière, les sauts de cycle et la différenciation.

Ce que rapporte un récepteur

La NASA énumère les observables qu’un récepteur de poursuite fournit : la pseudo-distance, le décalage Doppler, la phase porteuse et la densité du rapport porteuse sur bruit. Les logiciels de positionnement pour les relevés utilisent les trois premiers.

Pour le RTK , une station de base et un rover enregistrent tous deux ces observables. Les différences entre les deux récepteurs suppriment les erreurs qu’ils partagent. Le GPS différentiel repose sur la même idée avec des corrections de pseudo-distance. La base doit rester proche du rover pour que les deux voient les mêmes erreurs. La page GNSS couvre les autres systèmes satellitaires qui donnent le même type de mesure.